作业帮用于解差分方程的特征方程法的原理是什么?最好详细给出原理证明过程
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 22:06:38
用于解差分方程的特征方程法的原理是什么?最好详细给出原理证明过程
其实我也不是很明白,但是我有一些心得可以与你共享,举一个最简单的二阶齐次差分方程
Dn=pDn-1+qDn-2,其特征方程为λ²-pλ-q=0,但是实际上还可以列出下式：
[Dn ] = [ p q ] [Dn-1] ,设矩阵A= [ p q ],我们设向量Fn=[Dn+1],F1=[D2]
[Dn-1] [ 1 0 ] [Dn-2] [ 1 0 ] [Dn ] [D1]
Fn=AFn-1=A^(n-1)F1,通常F1是已知的,所以我们只需要求A^(n-1),
设法把矩阵A对角化是比较简单的方法,而A的特征多项式正是λ²-pλ-q=0,其两个特征根是该方程的两个解,下面必须分情况讨论,如果A的特征值λ1,λ2是2相异实根,那么A必可对角化,
即P^(-1)AP=∧,而由于A是个确定的矩阵,所以P^(-1)和P可以是一组确定的矩阵,然后代入可以得出通项Dn=C1λ1ⁿ+C2λ2ⁿ;(实际上,如果你够有耐心,甚至可以把C1,C2两个常数算出来)
如果A的特征值是相同特征值λ,那么首先要证明A必不可对角化,然后就是将A相似于jordan矩阵,
J2=[ λ 0 ],J2ⁿ=[ λⁿ 0 ],然后代入一样能得到Dn=(C1+C2n)λⁿ的形式
[ 1 λ ] [ nλ^(n-1) λⁿ]
有复根的时候,特征值是复数,按照复数的幂函数来求,最后通过Euler公式求出其实数范围的解就行.目前只研究到2阶,高阶和非齐次的我也不怎么清楚,上面写的希望能对有楼主有用
参考资料里面有用线性代数方法解差分方程的题目的例子
Dn=pDn-1+qDn-2,其特征方程为λ²-pλ-q=0,但是实际上还可以列出下式：
[Dn ] = [ p q ] [Dn-1] ,设矩阵A= [ p q ],我们设向量Fn=[Dn+1],F1=[D2]
[Dn-1] [ 1 0 ] [Dn-2] [ 1 0 ] [Dn ] [D1]
Fn=AFn-1=A^(n-1)F1,通常F1是已知的,所以我们只需要求A^(n-1),
设法把矩阵A对角化是比较简单的方法,而A的特征多项式正是λ²-pλ-q=0,其两个特征根是该方程的两个解,下面必须分情况讨论,如果A的特征值λ1,λ2是2相异实根,那么A必可对角化,
即P^(-1)AP=∧,而由于A是个确定的矩阵,所以P^(-1)和P可以是一组确定的矩阵,然后代入可以得出通项Dn=C1λ1ⁿ+C2λ2ⁿ;(实际上,如果你够有耐心,甚至可以把C1,C2两个常数算出来)
如果A的特征值是相同特征值λ,那么首先要证明A必不可对角化,然后就是将A相似于jordan矩阵,
J2=[ λ 0 ],J2ⁿ=[ λⁿ 0 ],然后代入一样能得到Dn=(C1+C2n)λⁿ的形式
[ 1 λ ] [ nλ^(n-1) λⁿ]
有复根的时候,特征值是复数,按照复数的幂函数来求,最后通过Euler公式求出其实数范围的解就行.目前只研究到2阶,高阶和非齐次的我也不怎么清楚,上面写的希望能对有楼主有用
参考资料里面有用线性代数方法解差分方程的题目的例子