作业帮单调函数的间断点可数吗
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 09:33:53
单调函数的间断点可数吗
间断点处的函数值可以对应一个小区间,所有的间断点对应的区间两两无交,1.为什么两两无交?老师说每一个区间中可以找到一个有理数与其对应来证明它是可数的,为什么可以这样证明,如果我把实数域分成（0,1）（1,2）.这样的形式也按上面的方法数,难道实数也是可列的吗,这不是矛盾吗
间断点处的函数值可以对应一个小区间,所有的间断点对应的区间两两无交,1.为什么两两无交?老师说每一个区间中可以找到一个有理数与其对应来证明它是可数的,为什么可以这样证明,如果我把实数域分成（0,1）（1,2）.这样的形式也按上面的方法数,难道实数也是可列的吗,这不是矛盾吗
在间断点x,f(x)两边可以取到一个开集(y1,y2),f(x)的取值空间不包括这个开集.而开集(y1,y2)包含有理数,这样间断点x就可以用一个有理数表示.而R空间的有理数集是可数的,所以间断点可数.这是我引用别人的解法
再问： 那为什么我一定要取有理数，不取无理数
再答： 单调函数的每一点都有左右极限，所以不连续点所跳跃的部分一定至少包含一个有理数，这是一个不连续点到可数集的单射。因为有理数集是可数的，所以用来证明前面的问题。这是一个证明的过程，因为有理数可数，根据这个特性，做可数集的单射，来证明而已。
再问： 那为什么我一定要取有理数，不取无理数
再答： 单调函数的每一点都有左右极限，所以不连续点所跳跃的部分一定至少包含一个有理数，这是一个不连续点到可数集的单射。因为有理数集是可数的，所以用来证明前面的问题。这是一个证明的过程，因为有理数可数，根据这个特性，做可数集的单射，来证明而已。