高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 05:08:56
高数,极限和导数问题
F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,
为什么是错的?
F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,
为什么是错的?
错误的原因如下:
由导数的定义可知,
F'(a)=lim(Δx->0)(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,
显然导数包括左导数与右导数,我们不妨先从右导数考虑,即:
F'(a)=lim(Δx->0+)(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,(此时Δx从正向趋近于0,即Δx >0)
由极限的局部保号性可知,存在一个ε>0,使得0 0;
该式只能表明在x ∈[a,a+ε)这个区间上时,函数F(x)有最小值F(a);
同理,当考虑其左导数(即Δx从负向趋近于0)时,
只能得出在x ∈(a-ε,a]这个区间上时,函数F(x)有最大值F(a);
综上最多只能推出当x1、x2∈(a-ε,a+ε)且x1 > a > x2 时,有F(x1)>F(x2),而不能推出你的结论,即F(x)在a的一个邻域内递增.
从理解上来说,在这个求导取极限的过程中,是将所有x在x=a附近的邻域的函数值与F(a)进行比较,而要得出你的结论,即F'(a)>0则F(x)在a的一个邻域(不妨设为(a-ε,a+ε),ε>0)内递增,那么必须要能够比较在该区间上任意两个函数值的大小,而实际上,例如比较F(a+ε/2)和F(a+ε/3)的大小,而这根据F'(a)> 0是无法得出大小比较的.所以你的结论是错误的;或者说结论太强,可能需要补充更多的条件才能够得出.
由导数的定义可知,
F'(a)=lim(Δx->0)(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,
显然导数包括左导数与右导数,我们不妨先从右导数考虑,即:
F'(a)=lim(Δx->0+)(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,(此时Δx从正向趋近于0,即Δx >0)
由极限的局部保号性可知,存在一个ε>0,使得0 0;
该式只能表明在x ∈[a,a+ε)这个区间上时,函数F(x)有最小值F(a);
同理,当考虑其左导数(即Δx从负向趋近于0)时,
只能得出在x ∈(a-ε,a]这个区间上时,函数F(x)有最大值F(a);
综上最多只能推出当x1、x2∈(a-ε,a+ε)且x1 > a > x2 时,有F(x1)>F(x2),而不能推出你的结论,即F(x)在a的一个邻域内递增.
从理解上来说,在这个求导取极限的过程中,是将所有x在x=a附近的邻域的函数值与F(a)进行比较,而要得出你的结论,即F'(a)>0则F(x)在a的一个邻域(不妨设为(a-ε,a+ε),ε>0)内递增,那么必须要能够比较在该区间上任意两个函数值的大小,而实际上,例如比较F(a+ε/2)和F(a+ε/3)的大小,而这根据F'(a)> 0是无法得出大小比较的.所以你的结论是错误的;或者说结论太强,可能需要补充更多的条件才能够得出.
高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
关于导数的一道题f(x)连续,且x=0处的导数大于零,那么存在一个数a,使得A.f(x)在(0,a)内单调递增 B.f(
导数判定函数单调性一个函数f(x)在X0的导数>0,则存在a>0在X0去心邻域(X0-a,X0+a)使得f(x)是单调上
高数定义类问题一个函数的导数在f'(0)处是不连续的,那么x=0的邻域中,f'(x)是否存在.f'(x)=sin(1/x
高数函数的极限定义函数极限定义:设函数f(x)在点x.的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论
证明:如果函数f(x)当x→a时的极限存在,则函数f(x)在a的某个去心邻域内有界.
高数,设函数f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是?A.l
证明:函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在区间(1,3)内至少存在一点a,使得它的二阶导数是0
设函数f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是?A.lim(x趋近于0) [f(a+
高数函数极限证明f(x)→A当x→x.,g(x)→B当x→x..证:若A>B,则在x.的某去心邻域内有f(x)>g(x)
函数极限有界性上写的是lim(x→X)f(x)存在,存在δ>0时f(x)在X的去心邻域中有界,那怎么又有当x→∞函数极限
高数:函数f(x)连续,且在0处的导数值大于0,是否可以判断函数在0点双邻域内的单调性