作业帮几道求函数极限的题（头痛啊~）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 18:52:44
几道求函数极限的题（头痛啊~）
我们是文科高数E（也就是最简单的,但是还是很难啊）,没有教比如罗必塔法则和等价无穷小代换等等的定理,所以在搜索相关题解时完全看不懂.下面的题目我觉得是一个类型的,都是X趋近于一个数N,但是把N代进去恰好分母等于零,也就是原式无意义,有的可以通过因式分解,这个我会,但是很多题目没这么简单的,比如：
（1）limx->1,x^n-1/x^m-1(n,m是自然数)
（2）limx->4,分子是(1+2x)的开平方-3,分母是x的开平方-2
（3）limx->a,sinx-sina/x-a
（4）limx->0,分子是(e^x+e^-x)-2,分母是x^2
（5）limx->8,(x+1/x-1)^x
感觉大一高数跟高中数学实在不一样啊,很抽象很抽象!对于类型题,希望有个通用的解题步骤,万分感激!
1,limx->1,x^n-1/x^m-1(n,m是自然数)把1代入就可以了,等于1
------------------------------------------------------
怎么可以代呢，1的M次方减1等于零，那分母不就无意义了吗
--------------------------------------------------
什么是罗必塔法则呢？
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5.limx->8,(x+1/x-1)^x={x-1+2/x-1}^x={1+2/x-1}^x=e^2
看不懂，倒数第二个等式
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我们是文科高数E（也就是最简单的,但是还是很难啊）,没有教比如罗必塔法则和等价无穷小代换等等的定理,所以在搜索相关题解时完全看不懂.下面的题目我觉得是一个类型的,都是X趋近于一个数N,但是把N代进去恰好分母等于零,也就是原式无意义,有的可以通过因式分解,这个我会,但是很多题目没这么简单的,比如：
（1）limx->1,x^n-1/x^m-1(n,m是自然数)
（2）limx->4,分子是(1+2x)的开平方-3,分母是x的开平方-2
（3）limx->a,sinx-sina/x-a
（4）limx->0,分子是(e^x+e^-x)-2,分母是x^2
（5）limx->8,(x+1/x-1)^x
感觉大一高数跟高中数学实在不一样啊,很抽象很抽象!对于类型题,希望有个通用的解题步骤,万分感激!
1,limx->1,x^n-1/x^m-1(n,m是自然数)把1代入就可以了,等于1
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怎么可以代呢，1的M次方减1等于零，那分母不就无意义了吗
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什么是罗必塔法则呢？
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5.limx->8,(x+1/x-1)^x={x-1+2/x-1}^x={1+2/x-1}^x=e^2
看不懂，倒数第二个等式
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(1)因式分解
x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)
x^m-1=(x-1)(x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1)
(x^n-1)/(x^m-1)=(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)/(x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1)
x->1时极限是n/m
(2)用共轭的根式有理化,也可以算因式分解的方法
[sqrt(1+2x)-3]/[sqrt(x)-2]
=(1+2x-3)/[sqrt(1+2x)+3] * [sqrt(x)+2]/(x-2)
=2[sqrt(x)+2]/[sqrt(1+2x)+3]
x->4时极限是4/3
(3)利用和差化积公式,但是你必须知道y->0时lim siny/y =1,否则也只能用定义.
(sinx-sina)/(x-a)
=2sin[(x-a)/2]/(x-a) * cos[(x+a)/2]
x->a时极限是cosa.
(4)因式分解,你必须知道y->0时lim (e^y-1)/y =1,否则只能用定义.
[(e^x+e^(-x))-2]/x^2
=e^(-x) * [(e^x-1)/x]^2
x->0时极限是1
(5)往(1+1/n)^n的形式凑
[(x+1)/(x-1)]^x=[1+2/(x-1)]^x
令y=(x-1)/2,那么
[1+2/(x-1)]^x=(1+1/y)^(2y+1)=[(1+1/y)^y]^2 * (1+1/y)
y->无穷的时候极限是e^2
注：
1.都已经是大学生了,括号不应该随便省掉.
2.我可以用初等方法帮你解决掉一部分问题,但这个绝不是通用办法.虽然很多都是高中数学的方法,但是从你的叙述来看你的基本功也不见得扎实到能把这些方法运用自如.
3.L'Hospital法则和Taylor公式基本上是万能的,虽然你们不学L'Hospital法则,我想Taylor公式总不会删掉的吧,L'Hospital法则(叙述上)还是很简单的,有空自己去学一下,否则做题目的时候是自找麻烦.
x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)
x^m-1=(x-1)(x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1)
(x^n-1)/(x^m-1)=(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)/(x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1)
x->1时极限是n/m
(2)用共轭的根式有理化,也可以算因式分解的方法
[sqrt(1+2x)-3]/[sqrt(x)-2]
=(1+2x-3)/[sqrt(1+2x)+3] * [sqrt(x)+2]/(x-2)
=2[sqrt(x)+2]/[sqrt(1+2x)+3]
x->4时极限是4/3
(3)利用和差化积公式,但是你必须知道y->0时lim siny/y =1,否则也只能用定义.
(sinx-sina)/(x-a)
=2sin[(x-a)/2]/(x-a) * cos[(x+a)/2]
x->a时极限是cosa.
(4)因式分解,你必须知道y->0时lim (e^y-1)/y =1,否则只能用定义.
[(e^x+e^(-x))-2]/x^2
=e^(-x) * [(e^x-1)/x]^2
x->0时极限是1
(5)往(1+1/n)^n的形式凑
[(x+1)/(x-1)]^x=[1+2/(x-1)]^x
令y=(x-1)/2,那么
[1+2/(x-1)]^x=(1+1/y)^(2y+1)=[(1+1/y)^y]^2 * (1+1/y)
y->无穷的时候极限是e^2
注：
1.都已经是大学生了,括号不应该随便省掉.
2.我可以用初等方法帮你解决掉一部分问题,但这个绝不是通用办法.虽然很多都是高中数学的方法,但是从你的叙述来看你的基本功也不见得扎实到能把这些方法运用自如.
3.L'Hospital法则和Taylor公式基本上是万能的,虽然你们不学L'Hospital法则,我想Taylor公式总不会删掉的吧,L'Hospital法则(叙述上)还是很简单的,有空自己去学一下,否则做题目的时候是自找麻烦.