作业帮如何证明蝴蝶定理?纯几何
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/04 22:47:41
如何证明蝴蝶定理?纯几何
蝴蝶定理：在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K,则有MK=MH.
已知：在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K.
求证：MK=MH.
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上,由于其几何图形形象奇特,酷似蝴蝶,因此而得名.历史上出现过许多优美奇特的解法,其中最早的应首推霍纳所给出的非初等的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学数学教师斯特温首先提出的,他给出的是面积法的证明.
思路1：如图8-30甲所示,构造△MFH的全等△MGK；从四点共圆开始,再用四点共圆来证明∠MFH=∠MGK是关键；
证明1：过F作FG‖AB交⊙O于G,连接MG、KG、DG.
则∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行线性质）；
在△AMF和△BMG中；
AM=MB；
∠FAM=∠GBM；（等弧对等角）
AF=BG； （等弧对等弦）
∴ △AMF≌△BMG；（SAS）
∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG；
∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB；
∵ E、F、G、D四点共圆；
∴ ∠MFG+∠KDG=180°
∴ ∠BMG+∠KDG=180°
∴ M、K、D、G四点共圆；
∴ ∠MDK=∠MGK；
∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圆周角相等）
∴ ∠MFH=∠MGK；
在△MFH和△MGK中；
∠FMH=∠GMK；
MF=MG；
∠MFH=∠MGK；
∴ △MFH≌△MGK；（ASA）
∴ MH=MK.
结论：根据圆的对称性,往左边作图也一定可以,构造△MDK的全等三角形.
思路2：如图8-30甲所示,根据圆的对称性,作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似,由四点共圆,推导出∠MOH=∠MOK是关键；
证明2：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT,再连MO.
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（对顶角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧对等圆周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ = ；
∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE；
∴ = ；
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧对等圆周角）；
= ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四点共圆；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四点共圆；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
∴ M、H、G、F四点共圆；
∴ ∠MGH=∠MFH；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
∴ MH=MK.
结论：作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论.该命题还有很多其他证法,不再赘述
已知：在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K.
求证：MK=MH.
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上,由于其几何图形形象奇特,酷似蝴蝶,因此而得名.历史上出现过许多优美奇特的解法,其中最早的应首推霍纳所给出的非初等的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学数学教师斯特温首先提出的,他给出的是面积法的证明.
思路1：如图8-30甲所示,构造△MFH的全等△MGK；从四点共圆开始,再用四点共圆来证明∠MFH=∠MGK是关键；
证明1：过F作FG‖AB交⊙O于G,连接MG、KG、DG.
则∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行线性质）；
在△AMF和△BMG中；
AM=MB；
∠FAM=∠GBM；（等弧对等角）
AF=BG； （等弧对等弦）
∴ △AMF≌△BMG；（SAS）
∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG；
∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB；
∵ E、F、G、D四点共圆；
∴ ∠MFG+∠KDG=180°
∴ ∠BMG+∠KDG=180°
∴ M、K、D、G四点共圆；
∴ ∠MDK=∠MGK；
∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圆周角相等）
∴ ∠MFH=∠MGK；
在△MFH和△MGK中；
∠FMH=∠GMK；
MF=MG；
∠MFH=∠MGK；
∴ △MFH≌△MGK；（ASA）
∴ MH=MK.
结论：根据圆的对称性,往左边作图也一定可以,构造△MDK的全等三角形.
思路2：如图8-30甲所示,根据圆的对称性,作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似,由四点共圆,推导出∠MOH=∠MOK是关键；
证明2：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT,再连MO.
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（对顶角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧对等圆周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ = ；
∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE；
∴ = ；
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧对等圆周角）；
= ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四点共圆；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四点共圆；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
∴ M、H、G、F四点共圆；
∴ ∠MGH=∠MFH；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
∴ MH=MK.
结论：作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论.该命题还有很多其他证法,不再赘述