(2014•甘孜州)在平面直角坐标系xOy中(O为坐标原点),已知抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 20:20:51
(2014•甘孜州)在平面直角坐标系xOy中(O为坐标原点),已知抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3).
(1)求b,c的值,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)设抛物线的对称轴为直线l,点P(m,n)是抛物线上在第一象限的点,点E与点P关于直线l对称,点E与点F关于y轴对称,若四边形OAPF的面积为48,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,设M是直线l上任意一点,试判断MP+MA是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及相应的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求b,c的值,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)设抛物线的对称轴为直线l,点P(m,n)是抛物线上在第一象限的点,点E与点P关于直线l对称,点E与点F关于y轴对称,若四边形OAPF的面积为48,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,设M是直线l上任意一点,试判断MP+MA是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及相应的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3),
∴
16+4b+c=0
1+b+c=-3.
解得:
b=-4
c=0.
∴y=x2-4x=(x-2)2-4.
∴抛物线的对称轴为x=2,顶点为(2,-4).
(2)如图1,
∵点P(m,n)与点E关于直线x=2对称,
∴点E的坐标为(4-m,n).
∵点E与点F关于y轴对称,
∴点F的坐标为(m-4,n).
∴PF=m-(m-4)=4.
∴PF=OA=4.
∵PF∥OA,
∴四边形OAPF是平行四边形.
∵S▱OAPF=OA•
.
yP.=4n=48,
∴n=12.
∴m2-4m=n=12.
解得:m1=6,m2=-2.
∵点P是抛物线上在第一象限内的点,
∴m=6.
∴点P的坐标为(6,12).
(3)过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2,
在(2)的条件下,有P(6,12),E(-2,12),
则AH=4-(-2)=6,EH=12.
∵EH⊥x轴,即∠EHA=90°,
∴EA2=EH2+AH2=122+62=180.
∴EA=6
5.
∵点E与点P关于直线l对称,
∴MP=ME.
∴MP+MA=ME+MA.
根据“两点之间线段最短”可得:
当点E、M、A共线时,MP+MA最小,最小值等于EA的长,即6
5.
设直线AE的解析式为y=mx+n,
则
4m+n=0
-2m+n=12,
解得:
∴
16+4b+c=0
1+b+c=-3.
解得:
b=-4
c=0.
∴y=x2-4x=(x-2)2-4.
∴抛物线的对称轴为x=2,顶点为(2,-4).
(2)如图1,
∵点P(m,n)与点E关于直线x=2对称,
∴点E的坐标为(4-m,n).
∵点E与点F关于y轴对称,
∴点F的坐标为(m-4,n).
∴PF=m-(m-4)=4.
∴PF=OA=4.
∵PF∥OA,
∴四边形OAPF是平行四边形.
∵S▱OAPF=OA•
.
yP.=4n=48,
∴n=12.
∴m2-4m=n=12.
解得:m1=6,m2=-2.
∵点P是抛物线上在第一象限内的点,
∴m=6.
∴点P的坐标为(6,12).
(3)过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2,
在(2)的条件下,有P(6,12),E(-2,12),
则AH=4-(-2)=6,EH=12.
∵EH⊥x轴,即∠EHA=90°,
∴EA2=EH2+AH2=122+62=180.
∴EA=6
5.
∵点E与点P关于直线l对称,
∴MP=ME.
∴MP+MA=ME+MA.
根据“两点之间线段最短”可得:
当点E、M、A共线时,MP+MA最小,最小值等于EA的长,即6
5.
设直线AE的解析式为y=mx+n,
则
4m+n=0
-2m+n=12,
解得:
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