作业帮请教高手一道关于定积分与微分方程的题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 07:02:36
请教高手一道关于定积分与微分方程的题目
设f(x)为连续函数,且满足：∫ _1^X [f(t)dt]=xf(x)+x^2,f(1)=-1,求f(x).由于输入不出数学符号,特说明：其中∫ _1^X表示（1在∫下方,x在∫上方),既积分区间是[1,x]；x^2表示X的平方.结果我已经知道了,
但我还有一点疑惑，就是∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 -->
f(x) = f(x)+xf'(x)+ 2x -->这一步是怎么得来的？就是∫[1,x] f(t)dt为什么=f(x)，等式右边我知道是对右边进行了求导，那等式左边的也是求导吗？
设f(x)为连续函数,且满足：∫ _1^X [f(t)dt]=xf(x)+x^2,f(1)=-1,求f(x).由于输入不出数学符号,特说明：其中∫ _1^X表示（1在∫下方,x在∫上方),既积分区间是[1,x]；x^2表示X的平方.结果我已经知道了,
但我还有一点疑惑，就是∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 -->
f(x) = f(x)+xf'(x)+ 2x -->这一步是怎么得来的？就是∫[1,x] f(t)dt为什么=f(x)，等式右边我知道是对右边进行了求导，那等式左边的也是求导吗？
等式两端同时求导,左端为【变动上限积分】求导,书上都有公式,在推导微积分基本定理那节.
∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 -->
f(x) = f(x)+xf'(x)+ 2x -->
f'(x) = -2
f(x)= -2x + C ,f(1)= -1 -->
C=1
f(x) = 1-2x
【将 x=1 带入：∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 即可得：f(1)=-1；
本题条件：f(1)=-1 多余,本题也用不到方程】
∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 -->
f(x) = f(x)+xf'(x)+ 2x -->
f'(x) = -2
f(x)= -2x + C ,f(1)= -1 -->
C=1
f(x) = 1-2x
【将 x=1 带入：∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 即可得：f(1)=-1；
本题条件：f(1)=-1 多余,本题也用不到方程】