已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/25 08:33:44

已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°）得到△A′B′C，连接AA′，BB′，射线 BB′交AC于点M，交AA′于点N

（1）若AC=6

（1）∵CB=CB'，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝
180−α
2＝90−
α
2．
∵∠BAC=
α
2，∠ABC=90°，
∴∠BCM=90°-
α
2．
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BM=
1
2AC＝3
3．（3分）
（2）∵CB=CB'，
∴∠CBB′＝∠CB′B＝
180−α
2＝90−
α
2．
同理∠CAA′＝90−
α
2，
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）

（3）∵△AMN∽△BMC．
∴
AM
BM＝
AN
BC＝
AN
B′C＝
4
3．（7分）
过点M画MH⊥AB于H，
∵sin∠BAC＝
1
4，
∴MH＝
1
4AM．
在Rt△BHM中，sin∠MBH＝
1
4AM÷
3
4AM＝
1
3．（8分）
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）