设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 11:31:17
设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,
△ABD,△ACD面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为( )
A.R^2
B.3R^2
C.4R^2
D.2R^2
晕 题目选项里面都没有这个答案
R^2代表的是R的平方
△ABD,△ACD面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为( )
A.R^2
B.3R^2
C.4R^2
D.2R^2
晕 题目选项里面都没有这个答案
R^2代表的是R的平方
答案选D
首先,△ABC确定一个小圆,设其圆心H,半径为r,∠ABC=α,
因为AB⊥AC,所以BC是小圆的直径,
BC=2r
AB=BCcosα=2rcosα
AC=BCsinα=2rsinα
连接AH并延长与球交于点P,DP的中点记为O,
则OH为△ADP的中位线,所以OH‖AD,AD=2OH
因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以AD⊥面ABC,所以AD⊥AP,
所以△ADP又确定一个圆,DP是其直径,O是圆心,
OH‖AD,AD⊥面ABC,所以OH⊥面ABC,
所以△ADP确定的圆是大圆,O是球心,OB=R,设∠OBC=β,则
r=OBcosβ=Rcosβ
OH=OBsinβ=Rsinβ
AD=2OH=2Rsinβ
综上所述,
AB=2rcosα=2Rcosαcosβ
AC=2rsinα=2Rsinαcosβ
AD=2Rsinβ
所以
S=S△ABC+S△ABD+S△ACD
=0.5AB*AC+ 0.5AB*AD+0.5AC*AD
=0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinαcosβ+ 0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinβ+0.5*2Rsinαcosβ*2Rsinβ
=2R²cosαcos²βsinα+2R²cosαcosβsinβ+2R²sinαcosβsinβ
=2R²[cosαsinαcos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
运用均值不等式cosα+sinα≥2√(cosαsinα)得
cosαsinα≤0.25(cosα+sinα)²,所以
S≤2R²[0.25(cosα+sinα)²cos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
对于cosα+sinα应该已经很熟悉了,
cosα+sinα=√2sin(α+π/4),当α=π/4时取得最大值√2.所以
S≤2R²[0.25(√2)²cos²β+(√2)cosβsinβ]
=2R²[0.5cos²β+(√2)cosβsinβ]
运用半角公式有
S≤2R²[0.25(1+cos2β)+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.25cos2β+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.75cos(2β-φ)] (tanφ=2√2)
≤2R²[0.25+0.75]
=2R²
首先,△ABC确定一个小圆,设其圆心H,半径为r,∠ABC=α,
因为AB⊥AC,所以BC是小圆的直径,
BC=2r
AB=BCcosα=2rcosα
AC=BCsinα=2rsinα
连接AH并延长与球交于点P,DP的中点记为O,
则OH为△ADP的中位线,所以OH‖AD,AD=2OH
因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以AD⊥面ABC,所以AD⊥AP,
所以△ADP又确定一个圆,DP是其直径,O是圆心,
OH‖AD,AD⊥面ABC,所以OH⊥面ABC,
所以△ADP确定的圆是大圆,O是球心,OB=R,设∠OBC=β,则
r=OBcosβ=Rcosβ
OH=OBsinβ=Rsinβ
AD=2OH=2Rsinβ
综上所述,
AB=2rcosα=2Rcosαcosβ
AC=2rsinα=2Rsinαcosβ
AD=2Rsinβ
所以
S=S△ABC+S△ABD+S△ACD
=0.5AB*AC+ 0.5AB*AD+0.5AC*AD
=0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinαcosβ+ 0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinβ+0.5*2Rsinαcosβ*2Rsinβ
=2R²cosαcos²βsinα+2R²cosαcosβsinβ+2R²sinαcosβsinβ
=2R²[cosαsinαcos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
运用均值不等式cosα+sinα≥2√(cosαsinα)得
cosαsinα≤0.25(cosα+sinα)²,所以
S≤2R²[0.25(cosα+sinα)²cos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
对于cosα+sinα应该已经很熟悉了,
cosα+sinα=√2sin(α+π/4),当α=π/4时取得最大值√2.所以
S≤2R²[0.25(√2)²cos²β+(√2)cosβsinβ]
=2R²[0.5cos²β+(√2)cosβsinβ]
运用半角公式有
S≤2R²[0.25(1+cos2β)+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.25cos2β+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.75cos(2β-φ)] (tanφ=2√2)
≤2R²[0.25+0.75]
=2R²
设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,
A,B,C,D是半径为1的球面上四点,且AB,AC,AD两两互相垂直,那么三角新ABC,ABD,ACD的面积和最大值是?
设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点,且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD
A B C D四点都在一个球面上, AB=AC=AD=根号2,且AB,AC,AD两两垂直,则该球的表面积是多少
已知球面上四点A,B,C,D,且AB,AC,AD两两垂直、AB=1,AC=2,AD=3,求球的表面积与体积
已知正三棱锥A—BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直.且AB=AC=AD=1.A.B.C.D四点在同一球面上,求该球体
已知正三棱锥P-ABC,点P A B C都在半径为R的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=2,则球的表面积为
已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为
已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为根号3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距
半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点则A与B两点见的球面距离为
P、A、B、C为球面上四点,若长度均为a的PA、PB、PC两两垂直,则球的体积为
一条直线上顺次有A.B.C.D四点,且C为AD的中点,BC-AC=0.25AD,求BC是AB的多少倍