利用杨辉三角解(a+b)的n次方,

利用杨辉三角解(a+b)的n次方,

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杨辉三角
简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的道理了
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
这就是杨辉三角,也叫贾宪三角
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律.如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
.
杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.
其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
杨辉,字谦光,北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图.
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律.具体的用
杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”,故称杨辉三角.元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”.
时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)也明显就可以知道是杨辉发现的
朱世杰只是扩充了其中的内容
同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为
0 (a+b)^0 (0 nCr 0)
1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)
2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
. ... ... ... ... ...
因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x）
我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^x (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)
[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]
其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
杨辉,字谦光,北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图.
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律.具体的用法我们会在教学内容中讲授.
在国外,这也叫做"帕斯卡三角形".
S1：这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1
S2：从右往左斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1；第二列是,1,2,3,4,5,6；第三列是1,3,6,10,15；第四列是1,4,10,20；第五列是1,5,15；第六列是1,6…….
从左往右斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1；第二列是1,2,3,4,5,6……和前面的看法一样.我发现这个数列是左右对称的.
S3：上面两个数之和就是下面的一行的数.
S4：这行数是第几行,就是第二个数加一.……
幻方,在我国也称纵横图,它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷.从我国古代的“河出图,洛出书,圣人则之”的传说起,系统研究幻方的第一人,当数我国古代数学家——杨辉.
杨辉,字谦光,钱塘(今杭州)人,我国南宋时期杰出的数学家,与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家,他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位.
杨辉对幻方的研究源于一个小故事.当时杨辉是台州的地方官,一次外出巡游,碰到一孩童挡道,杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题,杨辉一听来了兴趣,下轿来到孩童旁问是什么算题.原来,这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列,不论竖着加、横着加,还是斜着加,结果都等于15.
杨辉看到这个算题, 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也
见过.杨辉想到这儿,和孩童一起算了起来,直到午后,两人终于将算式摆出来了.
后来,杨辉随孩童来到老先生家里,与老先生谈论起数学问题来.老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”’杨辉听了,这与自己与孩童摆出来的完全一样.便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知
道.
杨辉回到家中,反复琢磨.一天,他终于发现一条规律,并总结成四句话：“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”.就是说：先把l～9九个数依次斜排,再把上l下9两数对调,左7右3两数对调,最后把四面的2、4、6、8向外面挺出,这样三阶幻方就填好了.
杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后,又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方.在这几种幻方中,杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误,可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律.
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