刘老师你好,矩阵A的转置乘以矩阵A,其秩会等于A吗?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 12:03:17

刘老师你好,矩阵A的转置乘以矩阵A,其秩会等于A吗?
我知道A的逆乘以A,所得矩阵的秩与A相等,A的逆可以看成多个初等矩阵,所以秩不变,但是转置这个也能这样认为吗?我看你的回答是A要满足实阵,是实对称阵吗?

A是实矩阵就可以
实矩阵是指A中元素都是实数
不一定是对称矩阵.

此时 r(A^TA) = r(A)
证明方法是用齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解.
A不一定是方阵, 不一定可逆
再问：如果换作A的伴随乘以A，在A可逆与不可逆的情况下，A的秩怎么考虑，若A可逆，等于A？不可逆则r(A*)=n r(A)=n-1===>r(A*)=1 r(A)r(A*)=0
再答：

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