关于高一指数函数的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 17:38:52

关于高一指数函数的问题
f(x)=[(2)^x -1]/[(2)^x+1] ,
1.求定义域,值域;
2.讨论f（x）的奇偶性
3.讨论f（x）的单调性

/>1、定义域是2^x +1≠0,恒成立
∴定义域是R
f(x)=1 +[-2/(1+2^x)]
1+2^x∈(1,+∞)
-2/(1+2^x)∈(-2,0)
∴1 +[-2/(1+2^x)]∈(-1,1)
此即值域
2、
∵f(-x)
=[1/2^x -1]/[1/2^x +1]
=[1-2^x]/[1+2^x]
=-f(x)
∴是奇函数
3、f(x)=1 +[-2/(1+2^x)]
1+2^x＞1+0=1
∴随着x的增大,1+2^x递增,且恒为正,
∴-2/[1+2^x]递增
∴1+[-2/(1+2^x)]递增
即f(x)在定义域内是增函数
…………………………………………………………………………
第三问还可以严格来证明
f(x)=1 +[-2/(1+2^x)]
任意取m＞n,则
f(m)-f(n)
=1+[-2/(1+2^m)]-1-[-2/(1+2^n)]
=2/(1+2^n) -2/(1+2^m)
=2(2^m -2^n)/[(1+2^m)(1+2^n)]
∵1+2^m＞0,1+2^n＞0
∴只要判断2^m-2^n即可
∵m＞n,2^x是增函数
∴2^m＞2^n
∴f(m)-f(n)＞0
∴f(x)在R上是增函数
祝愉快!

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