已知函数fx=1/3 x³-2x²+3x (X∈R)的图像为曲线C.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 10:41:04
已知函数fx=1/3 x³-2x²+3x (X∈R)的图像为曲线C.
1.若C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围
2.是否存在一条直线与曲线C同时相切于两个不同点?若存在求出,不存在说明理由.
1.若C上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围
2.是否存在一条直线与曲线C同时相切于两个不同点?若存在求出,不存在说明理由.
(1)f'(x)=x^2-4x+3,∴若两切线垂直,则斜率必都存在,设两切点为(x1,y1)(x2,y2)
即f'(x1)*f'(x2)=-1,由f'(x)的取值范围为[-1,+无穷),得到f'(x1)的取值范围为[-1,0)∪[1,+无穷)
(2)设两切点是(x1,y1)(x2,y2),则必有f'(x1)=f'(x2),关于三次函数对称中心对称
所以x1+x2=4,且此时f(x1)+f(x2)=4/3,所以此直线必过(2,2/3)
设为y=2/3+k(x-2),联立三次函数
得到1/3x^3-2x^2+3x=2/3+k(x-2)
即(x-2)(x^2-4x+1-3k)=0
且满足切线斜率与直线等所以,f'(x)=k,即x^2-4x+3=k
对照得到,1-3k=3-k,所以k=-1
于是x1=x2=2矛盾,所以不存在这样的直线
即f'(x1)*f'(x2)=-1,由f'(x)的取值范围为[-1,+无穷),得到f'(x1)的取值范围为[-1,0)∪[1,+无穷)
(2)设两切点是(x1,y1)(x2,y2),则必有f'(x1)=f'(x2),关于三次函数对称中心对称
所以x1+x2=4,且此时f(x1)+f(x2)=4/3,所以此直线必过(2,2/3)
设为y=2/3+k(x-2),联立三次函数
得到1/3x^3-2x^2+3x=2/3+k(x-2)
即(x-2)(x^2-4x+1-3k)=0
且满足切线斜率与直线等所以,f'(x)=k,即x^2-4x+3=k
对照得到,1-3k=3-k,所以k=-1
于是x1=x2=2矛盾,所以不存在这样的直线
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