设向量α=（a1,a2,a3……an）ai≠0证明：若A=α^tα则存在常数m,使得A^k=mA求可逆矩阵P 使P^-1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 08:38:09

设向量α=（a1,a2,a3……an）ai≠0证明：若A=α^tα则存在常数m,使得A^k=mA求可逆矩阵P 使P^-1AP为对角阵
另外怎么求|λE-A| 就是这个的行列式

为了记号简便,用α'表示α的转置.
向量α可视为1×n矩阵,而α'是n×1矩阵.
由矩阵乘法的结合律,有A² = (α'α)(α'α) = α'(αα')α.
而α‘α是1×1矩阵,也就是一个常数,设b = αα'.
则A² = α'(αα')α = bα'α = bA.
由此不难得到,对任意正整数k,成立A^k = b^(k-1)·A.
由α ≠ 0,有r(α) = 1,故线性方程组αX = 0的基础解系有n-1个向量.
易见它们都满足AX = α'αX = 0,即为A的属于特征值0的特征向量.
另一方面,Aα' = (α'α)α' = α'(αα') = bα',故α'(≠ 0)为A的属于特征值b的特征向量.
且由b = a1²+a2²+...+an² ≠ 0,α'与属于特征值0的特征向量线性无关.
于是由αX = 0的基础解系和α'为列向量组成的矩阵P可逆,并使得P^(-1)AP为对角阵.
根据上述结果,A的全部特征值为0 (n-1重)和b.
因此A的特征多项式|λE-A| = (λ-b)λ^(n-1).
再问：可是书上给的|λE-A| = λ^n-(λ^n-1)∑ai^2啊我的思路是把它拆成多个行列式相加 λ a1 λ - λ λ λ
再答：没错啊, b = ∑ai², 所以(λ-b)λ^(n-1) = λ^n-bλ^(n-1) = λ^n-λ^(n-1)∑ai². 拆成多个行列式相加应该也能做, 就是把各列的λ拆出来. 要点是如果有两列不含λ, 则这两列线性相关. 所以n-2次及以下的系数为0, 而n-1次系数直接用完全展开式就能看出来.

设向量α=（a1,a2,a3……an）ai≠0证明：若A=α^tα则存在常数m,使得A^k=mA求可逆矩阵P 使P^-1 设A、B均为n阶可逆矩阵,证明存在可逆矩阵P、Q,使得PAQ=B 设A为n×s矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的B,使得P=（A,B)可逆,且设A,B为N阶方阵,E为单位矩阵,a1,a2,.an,为B的N个特征值,且存在可逆矩阵P使B=PAP^(-1)-p^(- 设A1,A2,...Am都是可逆矩阵,证明存在多项式f(x)使Ai的逆=f(Ai) 设A,P均为3阶矩阵,且PTAP=diag(1,1,2),若P=[a1 a2 a3],Q=[a1+a2 a2 a3],其设矩阵A=(a1,a2,a3,a4）其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3,向量b=a1+a2+a3+a4,求证明:矩阵A~B的充要条件是存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 设a1,a2,a3,a4为四维向量,A=（a1,a2,a3,a4）已知通解X=k(1,0,1,0）^T ,求向量组的a1 设A为n阶矩阵,若存在正数k,是线性方程组A^kX=0有解向量α,且A^k-1α≠0.证明:向量组α,Aα,…,A^k- 线性代数的选择题A ,B为同阶可逆矩阵b)存在可逆矩阵P 使P^-1 AP=B为什么不对?D）存在可逆矩阵P和Q,使得P 一道矩阵的题目,急!设向量a=（a1,a2,a3）^T ,其中a1不等于0,A=Ek(a^T)a为正交矩阵,其中k不等于