计算广义积分∫[0,1]ln[1/(1-x²)]dx
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 05:17:46
计算广义积分∫[0,1]ln[1/(1-x²)]dx
先求不定积分
∫ ln(1/(1-x²))dx
=-∫ ln(1-x²)dx
=-xln(1-x²)-2∫ x²/(1-x²)dx
=-xln(1-x²)+2∫ (1-x²-1)/(1-x²)dx
=-xln(1-x²)+2∫ 1dx-2∫ 1/(1-x²)dx
=-xln(1-x²)+2x+ln(1-x)-ln(1+x)
=2x-ln(1+x)-ln[(1-x²)^x/(1-x)]
=2x-ln(1+x)-ln[(1+x)(1-x²)^x/(1-x²)]
=2x-ln(1+x)-ln[(1+x)(1-x²)^(x-1)] (1)
上式将0代入很简单,结果为0,关键是求x-->1-时的极限
下面计算:lim [x-->1-](1-x²)^(x-1)
=lim [x-->1-]e^[(x-1)ln(1-x²)]
=e^( lim [x-->1-] ln(1-x²)/(x-1)^-1 )
洛必达
=e^( lim [x-->1-] (-2x/(1-x²)) / -(x-1)^-2 )
=e^( lim [x-->1-] (2x(x-1)^2/(1-x²)))
=e^0=1
因此可得(1)当x-->1- 时的极限为:2-ln2-ln2=2-2ln2
再问: 答案为分散哎··· 还有 x属于[0,1)
再答: 这个是收敛的,我用数学软件验证过,你的答案错了,或者是你把题抄错了。 我是按x在[0,1)做的。你没看我取极限时都是按x-->1- 来做吗? 我可以把软件计算的结果贴图给你看。
再问: 题没错啊··· 软件也可以计算的吗?
再答: 下面是我用数学软件Maple算出的结果: http://hiphotos.baidu.com/qingshi0902/pic/item/02a630cce71190ef8dc69366ce1b9d16fcfa60eb.jpg
再问: 恩恩 你好厉害! 我觉得计算到-xln(1-x²)+2x+ln(1-x)-ln(1+x)时就将x取值带入好像显得简单些。 结果也是2-ln2 嘿嘿
再答: x-->1-时 ln(1-x²)与ln(1-x)都是无穷大,这个不能直接抵消的。
再问: 哦 是么
再答: 无穷大减无穷大是不定型。 比如x-->0时,1/x²-1/x这也是无穷大减无穷大,能抵消吗? x-->0 1/ln(1+x)-1/x 也是无穷大减无穷大,也不能抵消啊。 你通分算一下就会发现,上面的两个极限结果都不是0.
再问: 恩恩
再答: 如没有问题,请采纳。
∫ ln(1/(1-x²))dx
=-∫ ln(1-x²)dx
=-xln(1-x²)-2∫ x²/(1-x²)dx
=-xln(1-x²)+2∫ (1-x²-1)/(1-x²)dx
=-xln(1-x²)+2∫ 1dx-2∫ 1/(1-x²)dx
=-xln(1-x²)+2x+ln(1-x)-ln(1+x)
=2x-ln(1+x)-ln[(1-x²)^x/(1-x)]
=2x-ln(1+x)-ln[(1+x)(1-x²)^x/(1-x²)]
=2x-ln(1+x)-ln[(1+x)(1-x²)^(x-1)] (1)
上式将0代入很简单,结果为0,关键是求x-->1-时的极限
下面计算:lim [x-->1-](1-x²)^(x-1)
=lim [x-->1-]e^[(x-1)ln(1-x²)]
=e^( lim [x-->1-] ln(1-x²)/(x-1)^-1 )
洛必达
=e^( lim [x-->1-] (-2x/(1-x²)) / -(x-1)^-2 )
=e^( lim [x-->1-] (2x(x-1)^2/(1-x²)))
=e^0=1
因此可得(1)当x-->1- 时的极限为:2-ln2-ln2=2-2ln2
再问: 答案为分散哎··· 还有 x属于[0,1)
再答: 这个是收敛的,我用数学软件验证过,你的答案错了,或者是你把题抄错了。 我是按x在[0,1)做的。你没看我取极限时都是按x-->1- 来做吗? 我可以把软件计算的结果贴图给你看。
再问: 题没错啊··· 软件也可以计算的吗?
再答: 下面是我用数学软件Maple算出的结果: http://hiphotos.baidu.com/qingshi0902/pic/item/02a630cce71190ef8dc69366ce1b9d16fcfa60eb.jpg
再问: 恩恩 你好厉害! 我觉得计算到-xln(1-x²)+2x+ln(1-x)-ln(1+x)时就将x取值带入好像显得简单些。 结果也是2-ln2 嘿嘿
再答: x-->1-时 ln(1-x²)与ln(1-x)都是无穷大,这个不能直接抵消的。
再问: 哦 是么
再答: 无穷大减无穷大是不定型。 比如x-->0时,1/x²-1/x这也是无穷大减无穷大,能抵消吗? x-->0 1/ln(1+x)-1/x 也是无穷大减无穷大,也不能抵消啊。 你通分算一下就会发现,上面的两个极限结果都不是0.
再问: 恩恩
再答: 如没有问题,请采纳。
计算广义积分∫[0,1]ln[1/(1-x²)]dx
广义积分 ∫ln(1-x^2)dx收敛于________(积分区域为0-1)
广义积分∫ln(1-x^2)dx(0到1)
高数 定积分 计算定积分∫[0→1]lnx ln(1-x)dx
判别广义积分∫(上e 下1/e) ln|x-1|/(x-1) dx的敛散性
计算广义积分∫(1,2)dx/[x(x^2-1)^(1/2)]
求积分:∫-ln(1-x)dx
计算广义积分∫(正无穷 负无穷)dx/(π(1+x^2))
计算广义定积分 ∫ (+无穷,1)arctanx/(x^2) dx
计算1/(x^2+4)dx区间(0,正无穷)的广义积分
求广义积分∫∞ 1/xln x dx
计算定积分∫(1~-0)ln(1+x)/(2-x)^2.dx