三角形ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F为BE的中点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 07:31:04

三角形ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F为BE的中点
《1》求证：DF‖平面ABC
求证：AF‖BD

(1)证明：取AB的中点G,联结FG.
因为F为BE中点,所以FG为⊿ABE的中位线.
所以FG//AE且FG=AE/2=a.
因为AE⊥平面ABC,所以FG⊥平面ABC.
因为DC⊥平面ABC,所以FG//CD且FG=a=CD.
因此四边形CDFG是平行四边形.
故FD//CG.
因为FD不在平面ABC内,CG在平面ABC内,所以FD//平面ABC.
(2)（以下线段均表示向量,.表示内积）
AF.BD
=(AG+GF).(BC+CD)
=AG.BC+GF.BC+AG.CD+GF.CD
=a^2+0+0-a^2
=0
因此AF⊥BD.
另一种证法是以AC为边在平面ABC内另做正三角形ACH,则四边形AHCB为菱形.取CH的中点I,联结DI,则易证DI//AF（因为AH和DF平行且相等,从而AHDF为平行四边形）.DI,DB的长度可用勾股定理求出,而BI的长度在菱形AHCB中可用余弦定理求出,因此根据勾股定理的逆定理,DI⊥BD,从而AF⊥BD.