一道数学题:如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥BC交抛物线于点P.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/04 19:26:20
一道数学题:如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥BC交抛物线于点P.
(1)求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式;
(2)求点P的坐标以及四边形ACBP的面积;
(3)在抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/5b/75b3a939e38620fad9ac991740f6f645.jpg)
(1)求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式;
(2)求点P的坐标以及四边形ACBP的面积;
(3)在抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似.若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)令y=0,
得x2-1=0
解得x=±1,
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2分)
(2)∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°.
∵AP∥CB,
∴∠PAB=45°.
过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形,
令OE=a,则PE=a+1,
∴P(a,a+1).
∵点P在抛物线y=x2-1上,
∴a+1=a2-1.
解得a1=2,a2=-1(不合题意,舍去).
∴PE=3(4分).
∴四边形ACBP的面积S= 12AB•OC+ 12AB•PE
= 12×2×1+ 12×2×3=4;(6分)
(3)假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°,
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC= 2
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3 2(7分)
设M点的横坐标为m,则M(m,m2-1)
①点M在y轴左侧时,则m<-1.
(ⅰ)当△AMG∽△PCA时,有 AGPA=MGCA.
∵AG=-m-1,MG=m2-1.
即 -m-132=m2-12
解得m1=-1(舍去)m2= 23(舍去).
(ⅱ)当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,
即 -m-12=m2-132.
解得:m=-1(舍去)m2=-2.
∴M(-2,3)(10分).
②点M在y轴右侧时,则m>1
(ⅰ)当△AMG∽△PCA时有 AGPA=MGCA
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴ m+132=m2-12
解得m1=-1(舍去)m2= 43.
∴M( 43,79).
(ⅱ)当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,
即 m+12=m2-132.
解得:m1=-1(舍去)m2=4,
∴M(4,15).
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为(-2,3),( 43,79),(4,15)
得x2-1=0
解得x=±1,
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2分)
(2)∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°.
∵AP∥CB,
∴∠PAB=45°.
过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形,
令OE=a,则PE=a+1,
∴P(a,a+1).
∵点P在抛物线y=x2-1上,
∴a+1=a2-1.
解得a1=2,a2=-1(不合题意,舍去).
∴PE=3(4分).
∴四边形ACBP的面积S= 12AB•OC+ 12AB•PE
= 12×2×1+ 12×2×3=4;(6分)
(3)假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°,
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC= 2
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3 2(7分)
设M点的横坐标为m,则M(m,m2-1)
①点M在y轴左侧时,则m<-1.
(ⅰ)当△AMG∽△PCA时,有 AGPA=MGCA.
∵AG=-m-1,MG=m2-1.
即 -m-132=m2-12
解得m1=-1(舍去)m2= 23(舍去).
(ⅱ)当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,
即 -m-12=m2-132.
解得:m=-1(舍去)m2=-2.
∴M(-2,3)(10分).
②点M在y轴右侧时,则m>1
(ⅰ)当△AMG∽△PCA时有 AGPA=MGCA
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴ m+132=m2-12
解得m1=-1(舍去)m2= 43.
∴M( 43,79).
(ⅱ)当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,
即 m+12=m2-132.
解得:m1=-1(舍去)m2=4,
∴M(4,15).
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为(-2,3),( 43,79),(4,15)
一道数学题:如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥BC交抛物线于点P.
2、如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点A作AP∥CB交抛物线于点P,
一道数学题:如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
已知抛物线y=xx-1与x轴交于AB两点与y轴交于点C过点A作AP平行CB交抛物线于点P连接AC BC CP BP.
如图 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B 两点,与 y轴交于点C,对称轴与抛物线交于点P,与直线BC 交于点M,
如图所示已知抛物线y=x²-1与x轴交于AB两点与y轴交于点C①过A作AP∥CB交于P,求ACPB面积?
中考的一道数学题已知抛物线Y=X2-2x+c与X轴交于A,B两点,与Y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(-1
如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
如图,已知抛物线y=-x平方+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC.
如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点P为第一象限的抛物线上的一点
数学题,如图,抛物线y=(x+1)2+k与y轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-3)
如图,抛物线y=a(x2-1)(a<零)与x轴交于A.B与y轴交于点c,过