作业帮设f(x)为单调函数,且∫f(x)dx=F(x)+c,则∫f^-1(x)dx=xf^-1(x)-F(f^-1(x))+c
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 05:32:26
设f(x)为单调函数,且∫f(x)dx=F(x)+c,则∫f^-1(x)dx=xf^-1(x)-F(f^-1(x))+c,为什么?
这是分部积分法：∫ vdu = uv - ∫ udv
∫ ƒ(x) dx = F(x) + C
反函数的导数 = 1/函数的导数：[ƒ⁻¹(x)]' = 1/ƒ'(x)
并且ƒ[ƒ⁻¹(x)] = ƒ⁻¹[ƒ(x)] = x,(前提ƒ(x)是单调函数,才有这性质)
∫ ƒ⁻¹(x) dx
= xƒ⁻¹(x) - ∫ x d[ƒ⁻¹(x)],这步相当于uv - udv
= xƒ⁻¹(x) - ∫ ƒ[ƒ⁻¹(x)] d[ƒ⁻¹(x)].把ƒ⁻¹(x)当成v就有∫ ƒ(v) dv,就等于F(v) + C
= xƒ⁻¹(x) - F[ƒ⁻¹(x)] + C
或用换元法就更明显：v = ƒ⁻¹(x),dv = d[ƒ⁻¹(x)]
∫ ƒ⁻¹(x) dx
= ∫ v * d[ƒ(v)],x = ƒ[ƒ⁻¹(x)] = ƒ(v)
= vƒ(v) - ∫ ƒ(v) dv
= vƒ(v) - F(v) + C
= xƒ⁻¹(x) - F[ƒ⁻¹(x)] + C
∫ ƒ(x) dx = F(x) + C
反函数的导数 = 1/函数的导数：[ƒ⁻¹(x)]' = 1/ƒ'(x)
并且ƒ[ƒ⁻¹(x)] = ƒ⁻¹[ƒ(x)] = x,(前提ƒ(x)是单调函数,才有这性质)
∫ ƒ⁻¹(x) dx
= xƒ⁻¹(x) - ∫ x d[ƒ⁻¹(x)],这步相当于uv - udv
= xƒ⁻¹(x) - ∫ ƒ[ƒ⁻¹(x)] d[ƒ⁻¹(x)].把ƒ⁻¹(x)当成v就有∫ ƒ(v) dv,就等于F(v) + C
= xƒ⁻¹(x) - F[ƒ⁻¹(x)] + C
或用换元法就更明显：v = ƒ⁻¹(x),dv = d[ƒ⁻¹(x)]
∫ ƒ⁻¹(x) dx
= ∫ v * d[ƒ(v)],x = ƒ[ƒ⁻¹(x)] = ƒ(v)
= vƒ(v) - ∫ ƒ(v) dv
= vƒ(v) - F(v) + C
= xƒ⁻¹(x) - F[ƒ⁻¹(x)] + C
设f(x)为单调函数,且∫f(x)dx=F(x)+c,则∫f^-1(x)dx=xf^-1(x)-F(f^-1(x))+c
∫f(x)=F(x)+c,则∫1/xf(ln x)dx=
设∫xf(x)dx=arcsinx+c,求∫1/f(x)dx
已知f(x)dx=x+c,则∫xf(1-x)dx=
高数不定积分选择：设函数f(x)连续,且∫xf(x)dx=x^2*e^x +C,则∫f(x)dx=( )
若∫f(x)dx=F(x)+c 则∫1/√xf(√x)dx=?
设f(x)为连续函数,且满足设f(x)=x+∫(0,1)xf(x)dx,求f(x)
设e^(-x)是f(x)的一个函数,则∫xf(x)dx= A e^(-x) (1-x)+C B e^(-x) (1+x)
设F(x)是f(x)的一个原函数,则∫xf(1-x^)dx=(?)
设∫f(x)dx=sinx+c则∫xf(x)dx=
设∫xf（x）dx=arcsinx+C，则∫1f(x)dx= ___ ．
已知∫xf(x)dx=arcsinx+C,求∫1/f(x)dx