作业帮证明一道递推数列问题（大学数学）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 11:20:51
证明一道递推数列问题（大学数学）
n=1,2… ln(n)为自然对数
Cn=1+1/2+1/3+1/4.1/n-ln(n)
1.证明Cn>0
2.证明Cn随着N的增加而单调减小
n=1,2… ln(n)为自然对数
Cn=1+1/2+1/3+1/4.1/n-ln(n)
1.证明Cn>0
2.证明Cn随着N的增加而单调减小
第一问 用欧拉公式我们可以得知
1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C,
其中C为欧拉常数 随着n的增大而减小 极限是0.5772……
那么很明显可以看出
1+1/2+1/3+……+1/n > ln(n)
所以Cn>0 得证~
第二问
Cn+1=1+1/2+1/3+1/4.1/n + 1/(n+1)-ln(n+1)
Cn=1+1/2+1/3+1/4.1/n-ln(n)
那么Cn+1 - Cn = 1/(n+1)-ln(n+1)+ln(n) = 1/(n+1)-ln[(n+1)/n]
n=1 时 可以求出这个数是1/2 - ln2 < 0
设f(x)=1/(x+1) g(x)=ln[(x+1)/x]
那么可以求出
f'(x)= -1/ (x+1)^2
g'(x)= -1/ x(x+1)
因为f(1)
1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+C,
其中C为欧拉常数 随着n的增大而减小 极限是0.5772……
那么很明显可以看出
1+1/2+1/3+……+1/n > ln(n)
所以Cn>0 得证~
第二问
Cn+1=1+1/2+1/3+1/4.1/n + 1/(n+1)-ln(n+1)
Cn=1+1/2+1/3+1/4.1/n-ln(n)
那么Cn+1 - Cn = 1/(n+1)-ln(n+1)+ln(n) = 1/(n+1)-ln[(n+1)/n]
n=1 时 可以求出这个数是1/2 - ln2 < 0
设f(x)=1/(x+1) g(x)=ln[(x+1)/x]
那么可以求出
f'(x)= -1/ (x+1)^2
g'(x)= -1/ x(x+1)
因为f(1)