一道几何难题如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.点O是AC的中点,连接BO交AD于F,OE⊥

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 22:48:25

一道几何难题
如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.点O是AC的中点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC于E.
求证：△ABF∽△COE
当O为AC边的中点,且AC:AB=2时,求：OF:OE=?
当O为AC边的中点,且AC:AB=n时,直接写出OF:OE的值.
为什么不一样啊
到底是n还是n^3/4

/>证明：∵ AD⊥BC,AB⊥AC
∴ ∠BAD+∠DAC=90°=∠DAC+∠ACD
∴ ∠BAD=∠ACD
又 ∠ADB=∠FBD+90°=∠OEC
所以,△ABF∽△COE（AAA）
如图一所示,作FP⊥AB,FN⊥AC,EM⊥AC
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ Rt△APF∽Rt△ABC∽Rt△EMC
AC:AB=AP:PF=MC:EM
又,AC=2AB,则AO=OC=AB
∠AOB=∠ABO=∠MOE=∠MEO=45°
∴ Rt△PNO∽Rt△OME
OF:OE=FN:EM
∵ BP=PF,OM=ME,且MC:EM=AP:PF=2
所以,PF=AP/2=AB/3,EM=MC/2=OC/3
∴ EM=PF=AB/3,又AN=PF,AP=FN
∴ FN=2AB/3,EM=OM=AB/3
∴ OF:OE=FN:EM=2
方法二、
如图二所示,作OP垂直于AC交AD延长线于P
则AB//OP,∠BAF=∠FPO
又,∠BAF=∠OFP
∴ △ABF∽△OFP
OF:BF=OP:AB
由（1）证明和OC=AB,△ABF≌△OEC
BF=OE,所以,OF:OE=OP:AB
∵ ∠APO=∠BAD=∠ACB,OA=AB
∴ Rt△ABC≌Rt△APO
OP=AC=2AB
∴ OF:OE=2
方法三、
∵ △ABC是直角三角形,AC:AB=2
∴ OA=OC=AB
设OE=x
∵ OC=AB,据（1）结论
△ABF≌△OEC,OE=BF=x
令AB=1,则AC=2,BC=√5
2AD+AD/2=BC,AD=2BC/5=2√5/5
BD=AD/2=√5/5
又,Rt△BOE∽Rt△BDF
DF:OE=BD:BO
BO=√2,则DF=[(√5/5)/√2]*OE=x√10/10
又,OE^2=DF^2+BD^2
∴ x^2=1/5+x^2/10
x^2=2/9,x=√2/3
OF=BO-BF=2√2/3
所以,OF:OE=2
3）
OF:OE=(n^2BF/2)/(nBF/2)=n