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已知定点A(0,t)(t≠0),点M是抛物线y2=x上一动点,A点关于M点的对称点是N.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 10:21:11
已知定点A(0,t)(t≠0),点M是抛物线y2=x上一动点,A点关于M点的对称点是N.
(1)求点N的轨迹方程
(2)设(1)中所求轨迹与抛物线y2=x交于B、C两点,则当AB⊥AC时,求t的值.
答:
1
设点N的坐标为(x,y)
M是AN的中点,所以坐标为(x/2,[t+y]/2)
N在抛物线上,所以
(t+y)^2/4=x/2,
N点的轨迹方程为
x=(t+y)^2/2
2
联立两方程
得两个纵坐标y1=(1-√3)/2*t,y2=(1+√3)/2*t
向量AB*AC=0,x1x2+(y1-t)(y2-t)=(y1y2)^2+(y1-t)(y2-t)=0
代入坐标
得t=±√2