两个自然数的和是60,它的最大公因数和最小公倍数的差是220,求这两个数?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 09:07:39

这两个数是28、32
设两个自然数的最大公因数P,令这两个数分别为A*P、B*P.
则有
A*P + B*P = (A + B)*P = 60,显然60含有这个最大公约数.
同理
最大公因数和最小公倍数的差 = A*B*P - P = (AB - 1)*P = 220,显然220也含有这个最大公约数.
则根据
60=2^2×3×5
220=2^2×5×11
推断这个最大公约数P可能是2、4、5、10、20.
又因为最小公倍数必然大于220.
由基本不等式,A + B≤ 60/P,A*B ≤ (60/2P)² = (30/P)²
A*B*P≤(30/P)²*P = 900/P
即当P≥5时,最小公倍数ABP小于180,必小于220,不符.
因此仅须验证P = 2、4即可.
①P = 2
(A + B)*2 = 60
(AB - 1)*2 = 220
即
A + B = 30
AB = 111
即A、B是一元二次方程X² - 30X + 111 = 0的两个整数解.经求根公式验证无整数解.
②P = 4
(A + B)*4 = 60
(AB - 1)*4 = 220
即
A + B = 15
AB = 56
即A、B是一元二次方程X² - 15X + 56 = 0的两个整数解.经求得A、B分别 = 7、8
因此这两个自然数就是7*4 = 28,8*4 = 32
再问：简单点。。。
再答：要过程严密就没法简单。简单点说就是60、220里必然都含有原最大公因数，那根据60、220的公因数2、4、5、10、20，结合估算原最小公倍数的大小，可知当原最大公因数为5、10、20时不行。再检验最大公因数为2、4的情况，试得为4时有4*7=28、4*8=32。

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