椭圆焦点到椭圆的最短距离 用函数最小值计算
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 02:00:34
椭圆焦点到椭圆的最短距离 用函数最小值计算
解设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,其右焦点为(c,0),
其椭圆上的任一点为(x,y)(-a≤x≤a)
则椭圆上的任一点到焦点的距离的平方为
y=(x-c)^2+(y-0)^2
=x^2-2cx+c^2+y^2
=x^2-2cx+c^2+(b^2-b^2x/a^2)
=(1-b^2/a^2)x^2-2cx+b^2+c^2
=((a^2-b^2)/a^2)x^2-2cx+a^2
=(c^2)/a^2x^2-2cx+a^2
该函数的对称轴x=-b/2a=-(-2c)/2[(c^2)/a^2]=a^2/c
由a>c,故a^2/c>a
由函数的定义域为[-a,a]
又由函数为二次函数,开口向上,
故函数在[-a,a]时,是减函数
当x=a时函数有最小值为y=(c^2)/a^2×a^2-2ca+a^2=c^2-2ac+a^2=(a-c)^2
即椭圆焦点到椭圆的最短距离为√(a-c)^2=a-c.
其椭圆上的任一点为(x,y)(-a≤x≤a)
则椭圆上的任一点到焦点的距离的平方为
y=(x-c)^2+(y-0)^2
=x^2-2cx+c^2+y^2
=x^2-2cx+c^2+(b^2-b^2x/a^2)
=(1-b^2/a^2)x^2-2cx+b^2+c^2
=((a^2-b^2)/a^2)x^2-2cx+a^2
=(c^2)/a^2x^2-2cx+a^2
该函数的对称轴x=-b/2a=-(-2c)/2[(c^2)/a^2]=a^2/c
由a>c,故a^2/c>a
由函数的定义域为[-a,a]
又由函数为二次函数,开口向上,
故函数在[-a,a]时,是减函数
当x=a时函数有最小值为y=(c^2)/a^2×a^2-2ca+a^2=c^2-2ac+a^2=(a-c)^2
即椭圆焦点到椭圆的最短距离为√(a-c)^2=a-c.
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