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设sinα和cosα是方程x^2-kx+1/(k^2)=0的两个根,则实数k为

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 04:08:45
设sinα和cosα是方程x^2-kx+1/(k^2)=0的两个根,则实数k为
根据韦达定理,有:
sinα+cosα=k
sinαcosα=1/k²
k²=(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα
k²=1+2×1/k²
k²=1+(2/k²)
k^4=k²+2
k^4-k²-2=0
(k²-2)(k²+1)=0
k²-2=0 或 k²+1=0(不合题意,应该舍去)
k²=2
k=±√2
∵ △≥0,△=(-k)²-4×1×1/k²=k²-(4/k²)
∴ k²-(4/k²)≥0
k^4-4≥0
k^4≥4
k²≥2
k≥√2 或 k≤-√2
∴ k=√2 或 k=-√2