几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2(1/
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 23:35:04
几何不等式 爆难!
P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离
求证1/PD+1/PE+1/PF≥2(1/PA+1/PB+1/PC)
P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离
求证1/PD+1/PE+1/PF≥2(1/PA+1/PB+1/PC)
该不等式即Féjes不等式.可由Eedös-Mordell不等式得到,它们是互为反演命题.
Eedös-Mordell(埃尔多斯—莫德尔)不等式:
设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.
则有:x+y+z≥2*(p+q+r)
有了这个不等式,我们作如下证明:
任取k>0,以P为中心作反演变换,I(P,k).
设A,B,C的反演点为A',B',C',D,E,F的反演点为D',E',F'.
因为P,E,A,F四点共圆,PA是直径,
所以E',A',F'三点共圆,且PA'⊥E'F'.
同理F',B',D'三点共圆,且PB'⊥D'F';D',C',E'三点共圆,且PC'⊥D'E'.
因为PA*PA'=PB*PB'=PC*PC'=k,于是结论转化为
PD'+PE'+PF'≥2(PA'+PB'+PC')
这正是对ΔD'E'F'而言的Eedös-Mordell不等式.
因而Féjes不等式得证.
Eedös-Mordell(埃尔多斯—莫德尔)不等式:
设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.
则有:x+y+z≥2*(p+q+r)
有了这个不等式,我们作如下证明:
任取k>0,以P为中心作反演变换,I(P,k).
设A,B,C的反演点为A',B',C',D,E,F的反演点为D',E',F'.
因为P,E,A,F四点共圆,PA是直径,
所以E',A',F'三点共圆,且PA'⊥E'F'.
同理F',B',D'三点共圆,且PB'⊥D'F';D',C',E'三点共圆,且PC'⊥D'E'.
因为PA*PA'=PB*PB'=PC*PC'=k,于是结论转化为
PD'+PE'+PF'≥2(PA'+PB'+PC')
这正是对ΔD'E'F'而言的Eedös-Mordell不等式.
因而Féjes不等式得证.
几何不等式 爆难!P是三角形ABC内任意一点,PD、PE、PF是P到三边的距离求证1/PD+1/PE+1/PF≥2(1/
请教几何(图已画)P是三角形ABC内任意一点,求证:PD/DA+PE/EB+PF/FC=1
已知等边三角形ABC的高是5cm,三角形内任意一点P向三边作垂线段PD、PE、PF,求PD+PE+PF的长
已知等边三角形的边长为6,p是三角形ABC内任意一点,PD//AB,PE//BC,PF//AC.求证PD+PE+PF值不
如图1,边长为2的正△ABC内有一点P,它到三边的距离分别为PD、PE、PF.求(1)PD+PE+PF的值; (2)PD
边长为2的正△ABC内有一点P,它到三边的距离分别为PD、PE、PF.求(1)PD+PE+PF的值; (2)PD2+PE
等边△ABC内一点P,P到三边的距离分别为PD=1,PE=3,PF=5,求△ABC的面积
如图,在边长为2的正三角形ABC中,已知点P是三角形内任意一点,则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF=_____
在边长为2的正三角形ABC中,已知点P是三角形内任意一点,则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于多少?
在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF)
P是等边△ABC内任意一点,PD‖AB,PE‖BC,PF‖AC,求证:PD+PE+PF为定值
P是等边三角形ABC内任意一点,PD平行AB,PE平行BC,PF平行AC,求证:PD+PE+PF是定值