设函数f(x)是实数集R上的单调增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 13:55:44
设函数f(x)是实数集R上的单调增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x).
(1)求证:F(x)在R上是单调增函数;
(2)若F(x1)+F(x2)>0,求证:x1+x2>2.
(1)求证:F(x)在R上是单调增函数;
(2)若F(x1)+F(x2)>0,求证:x1+x2>2.
(1)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)];
∵f(x)是实数集R上的增函数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)<0,
由x1<x2,得-x1>-x2,
∴2-x1>2-x2,
∴f(2-x1)>f(2-x2),
∴f(2-x2)-f(2-x1)<0,
∴[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0;
即F(x1)<F(x2);
∴F(x)是R上的增函数.
(2)证明:∵F(x1)+F(x2)>0,
∴F(x1)>-F(x2)>0;
由F(x)=f(x)-f(2-x)知,
-F(x2)=-[f(x2)-f(2-x2)]=f(2-x2)-f(x2)=f(2-x2)-f[2-(2-x2)]=F(2-x2),
∴F(x1)>F(2-x2);
又F(x)是实数集R上的增函数,
所以x1+>2-x2.,
即x1+x2>2.
则F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)];
∵f(x)是实数集R上的增函数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)<0,
由x1<x2,得-x1>-x2,
∴2-x1>2-x2,
∴f(2-x1)>f(2-x2),
∴f(2-x2)-f(2-x1)<0,
∴[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0;
即F(x1)<F(x2);
∴F(x)是R上的增函数.
(2)证明:∵F(x1)+F(x2)>0,
∴F(x1)>-F(x2)>0;
由F(x)=f(x)-f(2-x)知,
-F(x2)=-[f(x2)-f(2-x2)]=f(2-x2)-f(x2)=f(2-x2)-f[2-(2-x2)]=F(2-x2),
∴F(x1)>F(2-x2);
又F(x)是实数集R上的增函数,
所以x1+>2-x2.,
即x1+x2>2.
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