设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/04 18:15:18

证明：
因为A实对称,所以存在正交矩阵U,使得U'AU=diag对角阵,对角线上是A的n个特征值.
由题U'(AB+B'A)U与AB+B'A合同,也正定,其顺序主子式必定大于0.
U'(AB+B'A)U=U'AUU'BU+U'B'UU'AU=diagU‘BU+U’B'Udiag
记P=U‘BU 那么U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.
如果A的特征值中有0,不妨设diag对角阵上第一个元素a11为0（也就是A的特征之中有0）
根据U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag.和矩阵的乘法运算,这个矩阵的第一行第一列元素也为0.
这就与顺序主子式都大于零矛盾了.所以A的n个特征值都不为0,A可逆.

设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵设A是n阶实对称阵,AB+B的转置A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵. 设A,B是n阶正定矩阵,则AB是：A.实对称矩阵．B.正定矩阵．C.可逆矩阵．D.正交矩阵设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定关于正定矩阵的急设A为n阶实对称矩阵证明 B=I+A的平方为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B| 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n A,B为正定矩阵,C是可逆矩阵.证明A-B为是对称矩阵. 设AB均是n阶实对称矩阵,其中A正定,证明存在实数t使tA+B是正定矩阵有关正定矩阵的问题设A为n阶对称矩阵,证明:A满秩的充要条件是存在实矩阵B,使AB+B-TA为正定矩阵. 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.