两个非齐次线性方程组的向量证明题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/05 23:59:18

两个非齐次线性方程组的向量证明题
帮我证两个题,
1.A是m×n矩阵,r(A)=m,证明：线性方程组Ax=b一定有解
2.设η是非齐次线性方程组Ax=b的任意一个解,ξ1,ξ2 … ξm 是其相伴方程组Ax=0的任意m个线性无关的解,证明：η,ξ1,ξ2 … ξm 一定线性无关

以下均从向量的角度去证明：
1.非齐次线性方程组有解的充要条件是系数阵的秩等于增广阵的秩,即r(A)=r(A,b).r(A)=m说明A阵中行向量组线性无关,那么行向量组的延伸组也线性无关,即有(A,b)的行向量组线性无关,所以r(A,b)=m.这样,该方程组一定有解.
2.反证法：假设η,ξ1,ξ2,…,ξm线性相关.而ξ1,ξ2,…,ξm线性无关,故η可由ξ1,ξ2,…,ξm线性表出,这样很显然有Aη=0,这就与条件η是非齐次线性方程组Ax=b的解矛盾.故假设不正确,η,ξ1,ξ2,…,ξm线性无关.

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