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如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC上一点,AD⊥BM于E,交BC于D,如果∠AMB=∠CMD,求

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/08 06:33:04
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC上一点,AD⊥BM于E,交BC于D,如果∠AMB=∠CMD,求证:M是AC的中点
证明:过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G
∵∠BAC=90
∴∠ABM+∠AMB=90
∵AD⊥BM
∴∠GAC+∠AMB=90
∴∠ABM=∠GAC
∵CG⊥AC
∴∠ACG=∠BAC=90
∵AB=AC
∴△ABM≌△CAG (ASA)
∴∠G=∠AMB,CG=AM
∵∠AMB=∠CMD
∴∠G=∠CMD
又∵AB=AC
∴∠ACB=45
∴∠GCB=∠ACG-∠ACB=45
∴∠ACB=∠GCB
∵CD=CD
∴△CGD≌△CMD (AAS)
∴CM=CG
∴AM=CM
∴M是AC的中点