求证一数列是柯西数列数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 11:00:29
求证一数列是柯西数列
数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)
求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)
求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
∵数列{x[n]},x[n+1]=1+1/(X[n]+1)
∴采用不动点法,设:y=1+1/(y+1),即:y^2=2
解得不动点是:y=±√2
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)
={(x[n]+2)/(x[n]+1)-√2}/{(x[n]+2)/(x[n]+1)+√2}
={(x[n]+2)-√2(x[n]+1)}/{(x[n]+2)+√2(x[n]+1)}
={(1-√2)x[n]-(√2-2)}/{(1+√2)x[n]+(√2+2)}
={(1-√2)(x[n]-√2)}/{(1+√2)(x[n]+√2)}
={(1-√2)/(1+√2)}{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
=(2√2-3){(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
∵x[1]=1
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=2√2-3
∴{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即:(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
x[n]-√2=x[n](2√2-3)^n+√2(2√2-3)^n
x[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1+(2√2-3)^n]
∴{x[n]}的通项公式:x[n]=√2[1+(2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]
∵2√2-3=√8-√9
∴-1N时,有|x[n]-x[m]|
∴采用不动点法,设:y=1+1/(y+1),即:y^2=2
解得不动点是:y=±√2
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)
={(x[n]+2)/(x[n]+1)-√2}/{(x[n]+2)/(x[n]+1)+√2}
={(x[n]+2)-√2(x[n]+1)}/{(x[n]+2)+√2(x[n]+1)}
={(1-√2)x[n]-(√2-2)}/{(1+√2)x[n]+(√2+2)}
={(1-√2)(x[n]-√2)}/{(1+√2)(x[n]+√2)}
={(1-√2)/(1+√2)}{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
=(2√2-3){(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
∵x[1]=1
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=2√2-3
∴{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即:(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
x[n]-√2=x[n](2√2-3)^n+√2(2√2-3)^n
x[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1+(2√2-3)^n]
∴{x[n]}的通项公式:x[n]=√2[1+(2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]
∵2√2-3=√8-√9
∴-1N时,有|x[n]-x[m]|
求证一数列是柯西数列数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
已知x1≠1,x1>0,xn+1=xn(xn^2+3)/(3xn^2+1)(n∈N),求证:数列{xn}或者对任意正整数
在数列Xn中,X1=2,X(n+1)=(Xn/2)+(1/Xn),求证√2
数列极限已知数列xn=1+xn-1/(1+xn-1),x1=1,求该数列极限
已知数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn+1=1/2(xn+a/xn)(n∈N+)求证
证明数列X1=2,Xn+1=0.5(Xn+1/Xn)的极限存在
设数列{xn}满足xn+1=xn/2+1/xn,X0>0,n=0,1,2,3,...证明数列{xn}极限存在并求出其极限
函数f(x)=2x/x+2,设数列{xn}满足X(n+1)=f(Xn),且X1>0,求证:数列{1/Xn}是等差数列
已知x1=1/3 xn+1=xn2+xn-1/4求证 数列lg(xn+1/2)是等比数列
数列{Xn}中,X1=1/2,X(n+1)=2Xn/(1+Xn^2),求Xn
已知数列{Xn}满足Xn+1=Xn^2+Xn,X1=a(a-1),数列{Yn}满足Yn=1/(Xn+1),设Pn=X/(
数列{Xn}的递推公式给出Xn+1=0.5(Xn+9/Xn),X1=1求{Xn}通项