求高中数学必修3、4、5知识点总结要详细的
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 03:41:59
求高中数学必修3、4、5知识点总结要详细的
高一数学必修3公式总结以及例题
§1 算法初步
秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个n次多项式,只要作n次乘法和n次加法即可.表达式如下:
例题:秦九韶算法计算多项式
答案: 6 , 6
理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法… (algorithm)
1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码).
2. 算法的特征:
①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去
②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多个.没有输出的算法是无意义的.
③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度
3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构
流程图:(flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改.
注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯
2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了.
3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结束框.
算法结构: 顺序结构,选择结构,循环结构
直到型循环 当型循环
Ⅰ.顺序结构(sequence structure ):是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的.
Ⅱ.选择结构(selection structure ):或者称为分支结构.其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确定.它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的A,B两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句.
Ⅲ.循环结构(cycle structure):它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型(until)和当型(while)两种结构(见上图).当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用当型循环.
基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code),且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法.伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆.如:赋值语句中可以用 ,也可以用 ; 表示两变量相乘时可以用“*”,也可以用“ ”
Ⅰ. 赋值语句(assignment statement):用 表示, 如: ,表示将y的值赋给x,其中x是一个变量,y是一个与x同类型的变量或者表达式.
一般格式:“ ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ ”,但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号.
注: 1. 赋值号左边只能是变量,不能是常数或者表达式,右边可以是常数或者表达式.“ = ”具有计算功能.如: 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3
都是正确的.2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值. 如:a = b = c = 2 , a , b ,
c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.
例题:将x和y的值交换
, 同样的如果交换三个变量x,y,z的值 :
Ⅱ. 输入语句(input statement): Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b
输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果x ,y
注:1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开!2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句,意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ; ”隔开.
例题:当x等于5时,Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5
Ⅲ.条件语句(conditional statement):
1. 行If语句: If A Then B 注:没有 End If
2. 块If语句: 注:①不要忘记结束语句End If ,当有If语句嵌套使用时,有几个If ,就必须要有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定,即已经不属于上面的条件,另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件.④ 为了使得书写清晰易懂,应缩进书写.格式如下:
例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.
或者
注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数.
2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数
Ⅳ.循环语句( cycle statement): 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N次也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用While循环 Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
说明:1. While循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解决有关问题时,可以写成While循环,较为简单,因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.
例题: (见课本 )
颜老师友情提醒:1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码.
2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答.一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代码.
3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本,可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据,不要被铺天盖地的资料所淹没!
高中数学必修4知识点
2、角 的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角.
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角的集合为
4、已知 是第几象限角,确定 所在象限的方法:先把各象限均分 等份,再从 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度.
6、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ,则角 的弧度数的绝对值是 .
7、弧度制与角度制的换算公式: , , .
8、若扇形的圆心角为 ,半径为 ,弧长为 ,周长为 ,面积为 ,则 , , .
9、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,它与原点的距离是 ,则 , , .
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线: , , .
12、同角三角函数的基本关系:
;
.
13、三角函数的诱导公式:
, , .
, , .
, , .
, , .
口诀:函数名称不变,符号看象限.
, .
, .
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
14、函数 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 的图象;再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图象;再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 的图象.
函数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 的图象;再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 的图象.
函数 的性质:
①振幅: ;②周期: ;③频率: ;④相位: ;⑤初相: .
函数 ,当 时,取得最小值为 ;当 时,取得最大值为 ,则 , , .
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
图象
定义域
值域
最值 当 时, ;当
时, .
当 时,
;当
时, .
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在
上是增函数;在
上是减函数.
在 上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性 对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为 的向量.
单位向量:长度等于 个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式: .
⑷运算性质:①交换律: ;②结合律: ;③ .
⑸坐标运算:设 , ,则 .
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设 , ,则 .
设 、 两点的坐标分别为 , ,则 .
19、向量数乘运算:
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 .
① ;
②当 时, 的方向与 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;当 时, .
⑵运算律:① ;② ;③ .
⑶坐标运算:设 ,则 .
20、向量共线定理:向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使 .
设 , ,其中 ,则当且仅当 时,向量 、 共线.
21、平面向量基本定理:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 .(不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点 是线段 上的一点, 、 的坐标分别是 , ,当 时,点 的坐标是 .
23、平面向量的数量积:
⑴ .零向量与任一向量的数量积为 .
⑵性质:设 和 都是非零向量,则① .②当 与 同向时, ;当 与 反向时, ; 或 .③ .
⑶运算律:① ;② ;③ .
⑷坐标运算:设两个非零向量 , ,则 .
若 ,则 ,或 .
设 , ,则 .
设 、 都是非零向量, , , 是 与 的夹角,则 .
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴ ;
⑵ ;
⑶ ;
⑷ ;
⑸ ( );
⑹ ( ).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴ .
⑵ ( , ).
⑶ .
26、 ,其中 .
§1 算法初步
秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个n次多项式,只要作n次乘法和n次加法即可.表达式如下:
例题:秦九韶算法计算多项式
答案: 6 , 6
理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法… (algorithm)
1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码).
2. 算法的特征:
①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去
②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多个.没有输出的算法是无意义的.
③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度
3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构
流程图:(flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改.
注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯
2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了.
3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结束框.
算法结构: 顺序结构,选择结构,循环结构
直到型循环 当型循环
Ⅰ.顺序结构(sequence structure ):是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的.
Ⅱ.选择结构(selection structure ):或者称为分支结构.其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确定.它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的A,B两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句.
Ⅲ.循环结构(cycle structure):它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型(until)和当型(while)两种结构(见上图).当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用当型循环.
基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code),且是使用 BASIC语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法.伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆.如:赋值语句中可以用 ,也可以用 ; 表示两变量相乘时可以用“*”,也可以用“ ”
Ⅰ. 赋值语句(assignment statement):用 表示, 如: ,表示将y的值赋给x,其中x是一个变量,y是一个与x同类型的变量或者表达式.
一般格式:“ ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ ”,但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号.
注: 1. 赋值号左边只能是变量,不能是常数或者表达式,右边可以是常数或者表达式.“ = ”具有计算功能.如: 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3
都是正确的.2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值. 如:a = b = c = 2 , a , b ,
c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.
例题:将x和y的值交换
, 同样的如果交换三个变量x,y,z的值 :
Ⅱ. 输入语句(input statement): Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b
输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果x ,y
注:1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开!2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句,意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ; ”隔开.
例题:当x等于5时,Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5
Ⅲ.条件语句(conditional statement):
1. 行If语句: If A Then B 注:没有 End If
2. 块If语句: 注:①不要忘记结束语句End If ,当有If语句嵌套使用时,有几个If ,就必须要有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定,即已经不属于上面的条件,另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件.④ 为了使得书写清晰易懂,应缩进书写.格式如下:
例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.
或者
注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数.
2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数
Ⅳ.循环语句( cycle statement): 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N次也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用While循环 Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
说明:1. While循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解决有关问题时,可以写成While循环,较为简单,因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While循环和Do循环可以相互转化 4. Do循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.
例题: (见课本 )
颜老师友情提醒:1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码.
2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答.一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代码.
3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本,可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据,不要被铺天盖地的资料所淹没!
高中数学必修4知识点
2、角 的顶点与原点重合,角的始边与 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 为第几象限角.
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角的集合为
4、已知 是第几象限角,确定 所在象限的方法:先把各象限均分 等份,再从 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度.
6、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ,则角 的弧度数的绝对值是 .
7、弧度制与角度制的换算公式: , , .
8、若扇形的圆心角为 ,半径为 ,弧长为 ,周长为 ,面积为 ,则 , , .
9、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,它与原点的距离是 ,则 , , .
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线: , , .
12、同角三角函数的基本关系:
;
.
13、三角函数的诱导公式:
, , .
, , .
, , .
, , .
口诀:函数名称不变,符号看象限.
, .
, .
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
14、函数 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 的图象;再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图象;再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 的图象.
函数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数 的图象;再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 的图象.
函数 的性质:
①振幅: ;②周期: ;③频率: ;④相位: ;⑤初相: .
函数 ,当 时,取得最小值为 ;当 时,取得最大值为 ,则 , , .
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
图象
定义域
值域
最值 当 时, ;当
时, .
当 时,
;当
时, .
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在
上是增函数;在
上是减函数.
在 上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性 对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为 的向量.
单位向量:长度等于 个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式: .
⑷运算性质:①交换律: ;②结合律: ;③ .
⑸坐标运算:设 , ,则 .
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设 , ,则 .
设 、 两点的坐标分别为 , ,则 .
19、向量数乘运算:
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 .
① ;
②当 时, 的方向与 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;当 时, .
⑵运算律:① ;② ;③ .
⑶坐标运算:设 ,则 .
20、向量共线定理:向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使 .
设 , ,其中 ,则当且仅当 时,向量 、 共线.
21、平面向量基本定理:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 .(不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点 是线段 上的一点, 、 的坐标分别是 , ,当 时,点 的坐标是 .
23、平面向量的数量积:
⑴ .零向量与任一向量的数量积为 .
⑵性质:设 和 都是非零向量,则① .②当 与 同向时, ;当 与 反向时, ; 或 .③ .
⑶运算律:① ;② ;③ .
⑷坐标运算:设两个非零向量 , ,则 .
若 ,则 ,或 .
设 , ,则 .
设 、 都是非零向量, , , 是 与 的夹角,则 .
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴ ;
⑵ ;
⑶ ;
⑷ ;
⑸ ( );
⑹ ( ).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴ .
⑵ ( , ).
⑶ .
26、 ,其中 .