如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x^2与x橡轴相交于点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/05 21:34:58

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x^2与x橡轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x²从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,定点M到A点时停止移动.
（1）求线段OA所在直线的函数解析式
（2）设抛物线定点M的横坐标为m,
①用m的代数式表示点P；
②当m为何值时,线段PB最短；

（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A（2,4）,
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）
（2）①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m,2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时,y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2,m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）
（3）由（2）②知：P（2,3）,M（1,2）；
则PM= 2；
①PM=PN= 2,则N1（2,3+ 2）,N2（2,3- 2）；
②PM=MN,根据等腰三角形三线合一的性质知：N3（2,1）；
③PN=PM,此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M,则：
△PMN4∽△PN3M,
得：PM2=PN4•PN3,
即：PN4=PM2÷PN3=1,
故N4（2,1）；
综上可知：符合要求的点N的坐标为：
N1（2,3+ 2）；N2（2,3- 2）；N3（2,1）；N4（2,1）．（4分）
（4）当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2,
①过P作直线L∥OA,设直线L：y=2x+h,则有：
4+h=3,h=-1；
∴直线L：y=2x-1,联立抛物线的解析式有：
{y=2x-1y=(x-1)2+2,
解得 {x=2y=3；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2,3）,故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP,即D（2,5）；
过D作直线L′∥OA,设直线L′：y=2x+h′,
则有：4+h′=5,h′=1；
∴直线L′：y=2x+1,联立抛物线的解析式有：
{y=2x+1y=(x-1)2+2,
解得 {x=2+2y=5+22,{x=2-2y=5-22；
抛物线上存在点Q1（2+ 2,5+2 2）,Q2（2- 2,5-2 2）,使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）