已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f（x）-x≥0,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/15 09:14:12

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f（x）-x≥0,
并且当x∈（0,2）时,恒有f（x）≤（x+1\2）^2
1.求f（1）的值
2.证明a＞0,c＞0
3.当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx（x∈R）是单调函数,求证：m≤0或m≥1

我想问问：（x+1\2）^2是【2/（x+1）】²还是【（x+1）/2】²还是（x+0.5）²
再问：是【（x+1）/2】²
再答：嗯，稍等！
再问：嗯麻烦你拉
再答： 1，由对任意实数x，恒有f（x）-x≥0，可令x=1得：f（1）-1≥0，即f（1）≥1 当x∈（0，2）时，恒有f（x）≤（x+1\2）^2 可令x=1得：f（1）≤（1+1\2）^2=1 所以1≤f（1）≤1 所以f（1）=1 2，∵f（-1）=0，f（1）=1 ∴a-b+c=0，a+b+c=1 联立上式解得：b=1/2，所以f（x）=ax²+x/2+c 由对任意实数x，恒有f（x）-x≥0，即：ax²-1/2x+c≥0恒成立对于二次函数，使得ax²-1/2x+c≥0在x∈R上恒成立，必定开口向上即a＞0 且△=1/4-4ac≤0，即：1/16≤ac，其中a＞0，所以c＞0 3，依题，g(x)=f(x)-mx=ax²+x/2+c-mx=ax²+（1/2-m）x+c 二次函数g(x)的单调性为：当x≥（2m-1）/4a时，函数单调递增当x≤（2m-1）/4a时，函数单调递减由于函数在x∈[-1,1]时是单调函数，有如下两种情况： ①函数在x∈[-1,1]时是单调递增函数则： -1≥（2m-1）/4a