正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点,求异面直线A1M与DN所成的角大小

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 09:38:03

正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点,求异面直线A1M与DN所成的角大小
正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点,求异面直线A1M与DN所成的角大小_______.

有两种解法,一个是建立直角坐标系,二是按照几何的方法解

（1）如上图1所示,以D为坐标原点,建立直角坐标系,由于这是正方体,所以X,Y,Z轴相互垂直比较好做直角坐标系,设正方体的边长为2,以便于计算,也可以把边长设为其他数值,反正结果都是一样的
A1（0,2,2）,M（1,0,0）,D（0,0,0）,N（2,0,1）（坐标点算好是关键）
设向量A1M=a,向量DN=b
∴a=（1,-2,-2）,b=（2,0,1）
∴|a|=√[1²＋(-2)²+(-2)²]=3,|b|=√5
a×b=1*2+(-2)*0+(-2)*1=0
∴a×b=|a|*|b|*cosα（α为两个向量的夹角）
解出cosα=0,α=k*π/2,也就是两个向量垂直
∴异面直线A1M和DN所成的夹角为90°

（2）如图2所示,取BB1的中点F,连接NF,AF,延长BB1,取B1E=B1B/2(也就是BB1的一半),连接A1E,ME,AM,BM
∵B1F=C1N,B1F∥C1N,∠FB1C1=90°
∴四边形B1FNC1为矩形
∴B1C1=NF,B1C1∥NF→AD=NF,AD∥NF
∴四边形ADNF为平行四边形
∴AF∥DN
∵A1E在面A1ABB1上,A1A=EF=2,AA1∥EF
∴四边形A1AFE为平行四边形
∴A1E∥AF
∴A1E∥DN
∴∠EA1M就是异面直线A1M和DN的夹角
很容易可以求出AM=√5,MB=√5,BE=3,AA1=2,B1E=1,A1B1=2
∴A1E=√5,A1M=3,ME=√14
∴ME²=A1E²+A1M²(即ME为斜边的直角三角形)
∴∠EA1M=90°
∴异面直线A1M和DN所成的夹角为90°