设f''(x)连续,且f''(x)>0,f(0)=f'(0)=0,试求极限lim（x->0+)∫(上u(x) 下0）f(

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/23 05:16:13

设f''(x)连续,且f''(x)>0,f(0)=f'(0)=0,试求极限lim（x->0+)∫(上u(x) 下0）f(t)dt/∫(上x下0）f(t)dt
其中u(x)是曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在x轴上的截距

先求出u(x) = f(x) - xf'(x)
u' = -xf''(x)
对原式用洛必达法则得
=-f(u)*x*f''(x) / f(x)
由于f''(x) > 0
求xf(u)/f(x)的极限,使用洛必达法则得
=[f(u)+xf'(u)*u'] / f'(x)
再用洛必达法则
=[f'(u)*u' + f'(u)*u' + x * u' * f''(u) * u' + xf'(u) * u''] / f''(x)
=0
所以原式 = 0
再问：切线：Y-f(x)=f'(x)(X-x) 所以u(x)=-[f(x)/f'(x)]+x，您是不是求错了呀？
再答：哎呀，不好意思，我看成y轴上的截距了，不过方法差不多，你代进去计算下
再问：麻烦您算一下呗我算的和答案不一样不知道哪里出错了答案是1/8 谢谢啦
再答： u(x) = -[f(x)/f'(x)]+x u'(x) = f(x)*f''(x) / [f'(x)]^2 设f(x) = x^2(a0+a1x+...) f'(x) = x(2a0+3a1x+...) f''(x) = 2a0 + 6a1x + ...... 所以可以得到u'(0) = 1/2 原式用洛必达法则 = f(u) * u'(x) / f(x) = 1/2 * f(u)/f(x) 继续 =1/2 * f'(u) * u' / f'(x) =1/4 * f'(u)/f'(x) =1/4 * f''(u) * u' / f''(x) =1/4 * 1/2 =1/8

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