作业帮是否存在那种处处不可导?但是处处存在左右导数的函数呢
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/04 21:21:48
是否存在那种处处不可导?但是处处存在左右导数的函数呢
不存在,因为对于一个函数f来说,如果在x=a处存在左右导数,那么必有以下前提：存在b,c两个实数使得f在[b,a)及(a,c]上可导（如果不存在这两个区间,则“左右导数”无从谈起）,而这与“处处不可导”矛盾
再问： 那怎么证明在a点有左右导的前提是在a的小区间上函数可导呢?
再答： 不知如何回答你的问题，因为就像问你“已知X+3=5，为什么X=2？”这个问题一样。。。回答是没有解释，就是这样。。。 ”x=a处存在左右导数“的前提就是”在某一小区间上可导“，这句话就如同，”函数f在R上为正函数“的前提是”f的定义域是R“
再问： 那也就是说很多在任意点连续不可导的函数都是不存在左右导数的，而不是仅仅左导不等于右导?就像威尔斯特拉斯函数等分形函数?
再答： 是的，因为在某一区间上处处不可导，就说明导函数在此区间上不存在，从而做到数右导数更无从谈起 就像ln函数在负实数区间上不存在，因此ln在x=-1处的连续性更是无从谈起，而不是因为ln函数在x=-1处的左极限右极限不等。。。 更一般的情况下，研究函数f在一点x的可导性，就是研究导函数f'的在这点的连续性；f存在左右导数，等价于f'存在左极限，右极限；这个的前提就是f'在x的一个小区间内有定义；该前提等价于f在x的一个小区间内可导。。。
再问： 谢谢。
再问： 那怎么证明在a点有左右导的前提是在a的小区间上函数可导呢?
再答： 不知如何回答你的问题，因为就像问你“已知X+3=5，为什么X=2？”这个问题一样。。。回答是没有解释，就是这样。。。 ”x=a处存在左右导数“的前提就是”在某一小区间上可导“，这句话就如同，”函数f在R上为正函数“的前提是”f的定义域是R“
再问： 那也就是说很多在任意点连续不可导的函数都是不存在左右导数的，而不是仅仅左导不等于右导?就像威尔斯特拉斯函数等分形函数?
再答： 是的，因为在某一区间上处处不可导，就说明导函数在此区间上不存在，从而做到数右导数更无从谈起 就像ln函数在负实数区间上不存在，因此ln在x=-1处的连续性更是无从谈起，而不是因为ln函数在x=-1处的左极限右极限不等。。。 更一般的情况下，研究函数f在一点x的可导性，就是研究导函数f'的在这点的连续性；f存在左右导数，等价于f'存在左极限，右极限；这个的前提就是f'在x的一个小区间内有定义；该前提等价于f在x的一个小区间内可导。。。
再问： 谢谢。