求高中数学中"三角函数导数,指对数函数导数"公式的推倒过程

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 03:32:23

求高中数学中"三角函数导数,指对数函数导数"公式的推倒过程
帮忙找一下
(sinX)'=cosX;
(cosX)'=-sinX;
(lnX)'=1/X;
(logaX)'=1/Xlog a e
这些公式的推导过程
注意,是推导过程!
谢谢!
回答好的追加奖励分!

我就跟你用高中的导数定义推一下吧.
根据定义,有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x),其中△x→0,将sin(x+△x)-sinx展开,就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,由于△x→0,故cos△x→1,从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x,这里必须用到一个重要的极限,当△x→0时候,lim(sin△x)/△x=1,于是(sinx)’=cosx.
同理,(cosx)’=lim[cos(x+△x)-cosx]/△x,其中△x→0.而此时cos(x+△x)-cosx＝cosxcos△x-sinxsin△x-cosx→-sinxsin△x,(cosx)’＝lim(-sinxsin△x)/△x=-sinx.
(lnx)’=lim[ln(x+△x)-lnx]/△x,△x→0.ln(x+△x)-lnx=ln(1+△x/x),这里也需要用到一个极限：当t→0时,ln(1+t)→t.于是我们有(lnx)’=lim[ln(1+△x/x)]/△x=(△x/x)/(△x)=1/x.
而用换底公式有logaX=lnX/lna=(loga e)lnX,我们已经求得了(lnX)’=1/X,所以[logaX]’=[(loga e)lnX]’=(loga e)/X.
这些公式的推导都要用到一些中学课本没有提及的重要极限,所以课本不作公式推导而直接写出结果.我的解答就到这里,有什么不明白的欢迎继续讨论.

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