三次函数韦达定理如何推导
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/28 22:12:12
三次函数韦达定理如何推导
众所周知,对于一元二次方程ax^2+bx+c=0,(a≠0)
两根x1,x2
有如下关系
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
|x1-x2|=√△/|a|
对于第三个,证法很简单了,就是依靠1式平方与二式乘4做差开根号.
前两个,
一是用求根公式,x=(-b±√△)/2a
加起来、乘起来,即可得到
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
的关系
这种证法的优点是,第三个式子用这个方法也可以很轻松证明出来
二是用分解式,若有两根x1,x2,则原方程显然可以化成
a(x-x1)(x-x2)=0
展开可得ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
对应上面的ax^2+bx+c=0
亦可得
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
的关系
这种证法的优点,下面会叙述.
韦达定理除了不解方程知道方程根的关系外,还可以用来构造方程
如:x^2-3x+1=0
两根x1+x2=3/2
x1x2=1
但是不用韦达定理的话就很悲催了.要出人命的.
又如
已知a+b=2,ab=1
求a,b
利用韦达定理,以a,b,为两根的方程x^2-(a+b)x+ab=0
即x^2-2x+1=0
a=b=1
但是利用韦达定理需要许多限制.
如:求x^2-3x+5=0根的关系
有人直接写,x1x2=5,x1+x2=3/2
但是注意:△=3^2-4*5=9-20=-11
两根x1,x2
有如下关系
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
|x1-x2|=√△/|a|
对于第三个,证法很简单了,就是依靠1式平方与二式乘4做差开根号.
前两个,
一是用求根公式,x=(-b±√△)/2a
加起来、乘起来,即可得到
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
的关系
这种证法的优点是,第三个式子用这个方法也可以很轻松证明出来
二是用分解式,若有两根x1,x2,则原方程显然可以化成
a(x-x1)(x-x2)=0
展开可得ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
对应上面的ax^2+bx+c=0
亦可得
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
的关系
这种证法的优点,下面会叙述.
韦达定理除了不解方程知道方程根的关系外,还可以用来构造方程
如:x^2-3x+1=0
两根x1+x2=3/2
x1x2=1
但是不用韦达定理的话就很悲催了.要出人命的.
又如
已知a+b=2,ab=1
求a,b
利用韦达定理,以a,b,为两根的方程x^2-(a+b)x+ab=0
即x^2-2x+1=0
a=b=1
但是利用韦达定理需要许多限制.
如:求x^2-3x+5=0根的关系
有人直接写,x1x2=5,x1+x2=3/2
但是注意:△=3^2-4*5=9-20=-11