(2011•海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中,设点P(x,y),M(x,-4)以线段PM为直径的圆经过原点O.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/18 17:34:06
(2011•海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中,设点P(x,y),M(x,-4)以线段PM为直径的圆经过原点O.
(1)求动点P的轨迹W的方程;
(2)过点E(0,-4)的直线l与轨迹W交于两点A,B,点A关于y轴的对称点为A′,试判断直线A′B是否恒过一定点,并证明你的结论.
(1)求动点P的轨迹W的方程;
(2)过点E(0,-4)的直线l与轨迹W交于两点A,B,点A关于y轴的对称点为A′,试判断直线A′B是否恒过一定点,并证明你的结论.
(1)由题意可得OP⊥OM,所以
OP•
OM=0,即(x,y)•(x,-4)=0
即x2-4y=0,即动点P的轨迹w的方程为x2=4y
(2)设直线l的方程为y=kx-4,A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(-x1,y1).
由
y=kx−4
x2=4y消y整理得x2-4kx+16=0
则x1+x2=4k,x1x2=16
直线A /B:y−y2=
y2−y1
x2+x1(x−x2)
∴y =
y2−y1
x2+x1(x−x2)+y2
∴y =
x2−x1
4x+
x1x2
4
即y =
x2−x1
4x+4,所以,直线A′B恒过定点(0,4).
OP•
OM=0,即(x,y)•(x,-4)=0
即x2-4y=0,即动点P的轨迹w的方程为x2=4y
(2)设直线l的方程为y=kx-4,A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(-x1,y1).
由
y=kx−4
x2=4y消y整理得x2-4kx+16=0
则x1+x2=4k,x1x2=16
直线A /B:y−y2=
y2−y1
x2+x1(x−x2)
∴y =
y2−y1
x2+x1(x−x2)+y2
∴y =
x2−x1
4x+
x1x2
4
即y =
x2−x1
4x+4,所以,直线A′B恒过定点(0,4).
(2011•海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中,设点P(x,y),M(x,-4)以线段PM为直径的圆经过原点O.
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