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这道题请老师帮助解答第3个问题

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 19:17:17

这道题请老师帮助解答第3个问题
解题思路： （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
解题过程：
解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，
∴
解得
∴y=﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣x+3），
∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC
=
=×（﹣x2+x）×4
=﹣x2+3x
=﹣（x﹣2）2+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得或，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∴AM所在的直线的斜率是：；
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得或，
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=﹣x+3上，
∴点M的坐标是（2，），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），
∴AM==，
∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，）．
综上，可得
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．
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