作业帮正定二次型和正定矩阵的判定
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/05 20:45:23
正定二次型和正定矩阵的判定
请问这个怎么做呢?
将原式展开配方整理得：
f=(x1+(1/2)∑[j=2,n]xj)^2+(3/4)(x2+(1/3)∑[j=3,n]xj)^2
+...+[n/(2n-2)](x(n-1)+xn/n)^2+[(n+1)/(2n)]xn^2
令：
y1=x1+(1/2)∑[j=2,n]xj
y2=x2+(1/3)∑[j=3,n]xj
.
y(n-1)=x(n-1)+xn/n
yn=xn
即：
x1=y1-y2/2-y3/3-...-y(n-1)/(n-1)-yn/n
x2=y2-y3/3-...-y(n-1)/yn
.
x(n-1)=y(n-1)-yn/n
xn=yn
则原二次型化为f=y1^2+3y2^2/4+...+ny(n-1)^2/(2n-2)+(n+1)yn^2/(2n)
线性替换的矩阵为T=
1 -1/2 -1/3 ...-1/(n-1) -1/n
0 1 -1/3 ...-1/(n-1) -1/n
0 0 1 ...-1/(n-1) -1/n
.
0 0 0 ...1 -1/n
0 0 0 ...0 1
则T'AT=diag{1,3/4,4/6,...,n/(2n-2),(n+1)/(2n)}
为正定二次型
f=(x1+(1/2)∑[j=2,n]xj)^2+(3/4)(x2+(1/3)∑[j=3,n]xj)^2
+...+[n/(2n-2)](x(n-1)+xn/n)^2+[(n+1)/(2n)]xn^2
令：
y1=x1+(1/2)∑[j=2,n]xj
y2=x2+(1/3)∑[j=3,n]xj
.
y(n-1)=x(n-1)+xn/n
yn=xn
即：
x1=y1-y2/2-y3/3-...-y(n-1)/(n-1)-yn/n
x2=y2-y3/3-...-y(n-1)/yn
.
x(n-1)=y(n-1)-yn/n
xn=yn
则原二次型化为f=y1^2+3y2^2/4+...+ny(n-1)^2/(2n-2)+(n+1)yn^2/(2n)
线性替换的矩阵为T=
1 -1/2 -1/3 ...-1/(n-1) -1/n
0 1 -1/3 ...-1/(n-1) -1/n
0 0 1 ...-1/(n-1) -1/n
.
0 0 0 ...1 -1/n
0 0 0 ...0 1
则T'AT=diag{1,3/4,4/6,...,n/(2n-2),(n+1)/(2n)}
为正定二次型