关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 08:15:07
关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt
解方程y''-3y'+2y=sine^(-x),
解方程y''-3y'+2y=sine^(-x),
x和0谁是上限谁是下限啊,我当作x是上限,0是下限
等式右边的那个积分需要先换元,令x-t=u,则dt=-du,t从0变到x,则u从x变到0
那个积分可化为:-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
原方程化为:∫[x,0]f(t)dt=x+x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
两边对x求导得:f(x)=1+∫[x,0]f(u)du+xf(x)-xf(x),即f(x)=1+∫[x,0]f(u)du (1)
两边再对x求导得:f'(x)=f(x),这就是微分方程
将x=0代入(1)得:f(0)=1,这就是初始条件
下面解微分方程:f'(x)=f(x),即f'(x)/f(x)=1,得ln|f(x)|=x+ln|C|
因此方程解为f(x)=Ce^x,将初始条件代入可得C=1,f(x)=e^x
再问: 请问-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du 这一步里上下限怎么转换了?
再答: 把前面的负号消去了。
再问: 谢谢,能否帮忙解答一下补充的另外一题?
再答: sine^(-x)? 题没错吧,书上没有这个类型啊。
再问: 是sin (e的负X次方)
再答: 题肯定错了,这个自由项太复杂了,估计手算很困难。而且也不是高数中需要掌握的。
等式右边的那个积分需要先换元,令x-t=u,则dt=-du,t从0变到x,则u从x变到0
那个积分可化为:-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
原方程化为:∫[x,0]f(t)dt=x+x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
两边对x求导得:f(x)=1+∫[x,0]f(u)du+xf(x)-xf(x),即f(x)=1+∫[x,0]f(u)du (1)
两边再对x求导得:f'(x)=f(x),这就是微分方程
将x=0代入(1)得:f(0)=1,这就是初始条件
下面解微分方程:f'(x)=f(x),即f'(x)/f(x)=1,得ln|f(x)|=x+ln|C|
因此方程解为f(x)=Ce^x,将初始条件代入可得C=1,f(x)=e^x
再问: 请问-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du 这一步里上下限怎么转换了?
再答: 把前面的负号消去了。
再问: 谢谢,能否帮忙解答一下补充的另外一题?
再答: sine^(-x)? 题没错吧,书上没有这个类型啊。
再问: 是sin (e的负X次方)
再答: 题肯定错了,这个自由项太复杂了,估计手算很困难。而且也不是高数中需要掌握的。
关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt
定积分问题:F(x)=积分( 0到x)tf(t) dt 求F'(x)
∫ 0到x tf(x-t)dt=∫ 0到x (x-t)f(t)dt 为什么?
f(x)=e^x-x∫f(t)dt+∫tf(t)dt,(其中式子中积分为定积分,上限均为x,下线均为0),其f连续,求f
定积分问题:已知F(x)=(定积分号上x下0)(tf(x-t) dt).求F(x)的导数.
请网友高手解释下[∫(0,x)tf(t)dt]'=xf(x)-∫(0,x)f(t)dt积分求导的推导过程,
变上限积分F(x)=∫(上限x,下限0)tf(t)dt,求F(x)的导数
定积分f(x)=∫0到1|x-t|dt的表达式
求定积分f(x)=∫0到1|x-t|dt的表达式
已知f(x)∫0tf(t)dt=1,试求函数f(x)的一般表达式
关于积分上下限F(x)=∫0 x2 tf(x-t)dt,求F'(X)令u=x-t F(x)=∫x x-x2(x-u)f(
定积分∫tf(x-t)dt(0到x)=1-cosx,则∫f(x)dx(0到π/2)