证明不等式:1/2(x^2012+y^2012)≥(1/2(x+y))^2012 xy为任意 拜托各位大神
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/22 22:49:10
证明不等式:1/2(x^2012+y^2012)≥(1/2(x+y))^2012 xy为任意 拜托各位大神
当x+y = 0,不等式显然成立.
当x+y ≠ 0,可设a = 2x/(x+y),b = 2y/(x+y).
则有a+b = 2,所证不等式可化为a^2012+b^2012 ≥ 2.
对非负实数a^2012,1,...,1(2011个1)使用均值不等式得:
a^2012+2011 = a^2012+1+...+1 ≥ 2012·(a^2012·1·...·1)^(1/2012) = 2012|a|.
同理,b^2012+2011 ≥ 2012|b|.
因此a^2012+b^2012 ≥ 2012(|a|+|b|)-4022 ≥ 2012|a+b|-4022 = 2,即所求证.
当x+y ≠ 0,可设a = 2x/(x+y),b = 2y/(x+y).
则有a+b = 2,所证不等式可化为a^2012+b^2012 ≥ 2.
对非负实数a^2012,1,...,1(2011个1)使用均值不等式得:
a^2012+2011 = a^2012+1+...+1 ≥ 2012·(a^2012·1·...·1)^(1/2012) = 2012|a|.
同理,b^2012+2011 ≥ 2012|b|.
因此a^2012+b^2012 ≥ 2012(|a|+|b|)-4022 ≥ 2012|a+b|-4022 = 2,即所求证.
证明不等式:1/2(x^2012+y^2012)≥(1/2(x+y))^2012 xy为任意 拜托各位大神
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