作业帮2010海淀区二模数学答案
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 09:05:56
2010海淀区二模数学答案
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海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2010．5
说明： 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A B A D
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
9．1 10． 11．2 ； 12．48 13．
14．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
；84.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）设等差数列 的公差为d,由 ,
可得 , ………………………2分
即 ,
解得 , ………………………4分
∴ ,
故所求等差数列 的通项公式为 . ………………………5分
（Ⅱ）依题意, ,
∴
, ………………………7分
又 , …………………9分
两式相减得 ………………………11分
, ………………………12分
∴ . ………………………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结 交 于 ,连结 ,
,
, ………… 1分
,
,
, ………… 3分
,
. ………… 4分[来源:Zxxk.Com]
（Ⅱ）如图所示,以 为原点,建立空间直角坐标系 ,
则 , , , ,
, , ,
,
………………………5分
,
………………………7分
异面直线 与 所成角的余弦值为 . ………………………8分
（Ⅲ） 侧棱 ,
, ………………………9分
设 的法向量为 ,
,并且 ,
,令 得 , ,
的一个法向量为 . ………………………11分
, ………………………13分
由图可知二面角 的大小是锐角,
二面角 大小的余弦值为 . .………………………14分
17． （本小题满分13分）
（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分
每名志愿者都有3种选择,4名志愿者的选择共有 种等可能的情况 . …………………2分
事件A所包含的等可能事件的个数为3, …………………3分
所以, .
即：4人恰好选择了同一家公园的概率为 . ………………5分
（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C,则 . .………………………6分
4人中选择甲公园的人数 可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数,因此,随机变量 服从二项分布.
可取的值为0,1,2,3,4. .………………………8分
, . .………………………10分
的分布列为:
0 1 2 3 4
.………………………12分
的期望为 ． .………………………13分
18.（本小题满分13分）
解法一：（Ⅰ）依题意得 ,所以 , .………………………1分
令 ,得 , .………………………2分
, 随x的变化情况入下表：
x
－ 0 + 0 －
极小值
极大值
………………………4分
由上表可知, 是 函数 的极小值点, 是函数 的极大值点.
………………………5分
（Ⅱ） , .………………………6分
由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立,[来源:学+科+网Z+X+X+K]
.………………………7分
当 时, ,显然 对任意 恒成立； .…………………8分
当 时, 等价于 ,
因为 ,不等式 等价于 ,
.………………………9分
令 ,
则 ,在 上显然有 恒成立,所以函数 在 单调递增,
所以 在 上的最小值为 , .………………………11分
由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立,
需且只需 ,即 ,解得 ,因为 ,所以 .
综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数a的取值范围为 .
.………………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） , .………………………6分
由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立,
即 对任意 恒成立, …………………7分
当 时, ,显然 对任意 恒成立； …………………8分
当 时,令 ,则函数 图象的对称轴为 ,
.………………………9分
若 ,即 时,函数 在 单调递增,要使 对任意 恒成立,需且只需 ,解得 ,所以 ; ..………………………11分
若 ,即 时,由于函数 的图象是连续不间断的,假如 对任意 恒成立,则有 ,解得 ,与 矛盾,所以 不能对任意 恒成立.
综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数a的取值范围为 .[来源:学科网]
.………………………13分
19．（本小 题满分13分）
（Ⅰ）由题意,抛物线 的方程为： , …………2分
（Ⅱ）设直线 的方程为： .
联立 ,消去 ,得 ,
………………3分
显然 ,设 ,
则 ①
② …………………4分
又 ,所以 ③ …………………5分
由①② ③消去 ,得 ,
故直线 的方程为 或 . …………………6分
（Ⅲ）设 ,则 中点为 , 因为 两点关于直线 对称,
所以 ,即 ,解之得 , …………………8分
将其代入抛物线方程,得：
,所以, . ………………………9分
联立 ,消去 ,得：
. ………………………10分
由 ,得
,即 , …………………12分
将 , 代入上式并化简,得
,所以 ,即 ,
因此,椭圆 长轴长的最小值为 . ………………………13分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意可得:
, ………………………1分
. ………………………2分
（Ⅱ） , ………………………3分
, ………………………4分
, ………………………5分
当 时, , ;
当 时, ;
当 时, .[来源:Zxxk.Com]
综上所述, ………………………6分
即存在 ,使得 是 上的4阶收缩函数. ………………………7分
（Ⅲ） ,令 得 或 .
函数 的变化情况如下：
令 ,解得 或3. ………………………8分
ⅰ） 时, 在 上单调递增,因此, , .
因为 是 上的2阶收缩函数,
所以,① 对 恒成立；
②存在 ,使得 成立. ………………………9分
①即： 对 恒成立,
由 ,解得： 或 ,
要使 对 恒成立,需且只需 . .………………………10分
②即：存在 ,使得 成立.
由 得： 或 ,
所以,需且只需 .
综合①②可得： . .………………………11分
ⅱ）当 时,显然有 ,由于 在 上单调递增,根据定义可得：
, ,
可得 ,
此时, 不成立. .………………………13分
综合ⅰ）ⅱ）可得： .
注：在ⅱ）中只要取区间（1,2）内的一个数来构造反例均可,这里用 只是因为简单而已.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2010．5
说明： 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A B A D
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
9．1 10． 11．2 ； 12．48 13．
14．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
；84.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）设等差数列 的公差为d,由 ,
可得 , ………………………2分
即 ,
解得 , ………………………4分
∴ ,
故所求等差数列 的通项公式为 . ………………………5分
（Ⅱ）依题意, ,
∴
, ………………………7分
又 , …………………9分
两式相减得 ………………………11分
, ………………………12分
∴ . ………………………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连结 交 于 ,连结 ,
,
, ………… 1分
,
,
, ………… 3分
,
. ………… 4分[来源:Zxxk.Com]
（Ⅱ）如图所示,以 为原点,建立空间直角坐标系 ,
则 , , , ,
, , ,
,
………………………5分
,
………………………7分
异面直线 与 所成角的余弦值为 . ………………………8分
（Ⅲ） 侧棱 ,
, ………………………9分
设 的法向量为 ,
,并且 ,
,令 得 , ,
的一个法向量为 . ………………………11分
, ………………………13分
由图可知二面角 的大小是锐角,
二面角 大小的余弦值为 . .………………………14分
17． （本小题满分13分）
（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分
每名志愿者都有3种选择,4名志愿者的选择共有 种等可能的情况 . …………………2分
事件A所包含的等可能事件的个数为3, …………………3分
所以, .
即：4人恰好选择了同一家公园的概率为 . ………………5分
（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C,则 . .………………………6分
4人中选择甲公园的人数 可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数,因此,随机变量 服从二项分布.
可取的值为0,1,2,3,4. .………………………8分
, . .………………………10分
的分布列为:
0 1 2 3 4
.………………………12分
的期望为 ． .………………………13分
18.（本小题满分13分）
解法一：（Ⅰ）依题意得 ,所以 , .………………………1分
令 ,得 , .………………………2分
, 随x的变化情况入下表：
x
－ 0 + 0 －
极小值
极大值
………………………4分
由上表可知, 是 函数 的极小值点, 是函数 的极大值点.
………………………5分
（Ⅱ） , .………………………6分
由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立,[来源:学+科+网Z+X+X+K]
.………………………7分
当 时, ,显然 对任意 恒成立； .…………………8分
当 时, 等价于 ,
因为 ,不等式 等价于 ,
.………………………9分
令 ,
则 ,在 上显然有 恒成立,所以函数 在 单调递增,
所以 在 上的最小值为 , .………………………11分
由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立,
需且只需 ,即 ,解得 ,因为 ,所以 .
综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数a的取值范围为 .
.………………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） , .………………………6分
由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立,
即 对任意 恒成立, …………………7分
当 时, ,显然 对任意 恒成立； …………………8分
当 时,令 ,则函数 图象的对称轴为 ,
.………………………9分
若 ,即 时,函数 在 单调递增,要使 对任意 恒成立,需且只需 ,解得 ,所以 ; ..………………………11分
若 ,即 时,由于函数 的图象是连续不间断的,假如 对任意 恒成立,则有 ,解得 ,与 矛盾,所以 不能对任意 恒成立.
综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数a的取值范围为 .[来源:学科网]
.………………………13分
19．（本小 题满分13分）
（Ⅰ）由题意,抛物线 的方程为： , …………2分
（Ⅱ）设直线 的方程为： .
联立 ,消去 ,得 ,
………………3分
显然 ,设 ,
则 ①
② …………………4分
又 ,所以 ③ …………………5分
由①② ③消去 ,得 ,
故直线 的方程为 或 . …………………6分
（Ⅲ）设 ,则 中点为 , 因为 两点关于直线 对称,
所以 ,即 ,解之得 , …………………8分
将其代入抛物线方程,得：
,所以, . ………………………9分
联立 ,消去 ,得：
. ………………………10分
由 ,得
,即 , …………………12分
将 , 代入上式并化简,得
,所以 ,即 ,
因此,椭圆 长轴长的最小值为 . ………………………13分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意可得:
, ………………………1分
. ………………………2分
（Ⅱ） , ………………………3分
, ………………………4分
, ………………………5分
当 时, , ;
当 时, ;
当 时, .[来源:Zxxk.Com]
综上所述, ………………………6分
即存在 ,使得 是 上的4阶收缩函数. ………………………7分
（Ⅲ） ,令 得 或 .
函数 的变化情况如下：
令 ,解得 或3. ………………………8分
ⅰ） 时, 在 上单调递增,因此, , .
因为 是 上的2阶收缩函数,
所以,① 对 恒成立；
②存在 ,使得 成立. ………………………9分
①即： 对 恒成立,
由 ,解得： 或 ,
要使 对 恒成立,需且只需 . .………………………10分
②即：存在 ,使得 成立.
由 得： 或 ,
所以,需且只需 .
综合①②可得： . .………………………11分
ⅱ）当 时,显然有 ,由于 在 上单调递增,根据定义可得：
, ,
可得 ,
此时, 不成立. .………………………13分
综合ⅰ）ⅱ）可得： .
注：在ⅱ）中只要取区间（1,2）内的一个数来构造反例均可,这里用 只是因为简单而已.