二元函数在某一点的梯度方向是唯一的,还是有无数个.他是等值线上该点的法线方向如何理解?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 13:32:32

你可以这样想象一个z=f(x,y)的三维图像,每一个（x,y）点都有一个z与之映射,可以想象得到那将是一个曲面,然后你想象曲面上一个特定的点,它就像你在爬山的时候站在半山腰一样.
如果你平的在那个半山腰左右走,那么你的高度是不会变的.这里高度就是z的值.这条你刚刚走的线就是等值线.既然在求梯度的时候要求导,正如一元函数一样,你把“很小的曲面”当作“平面”来求导,正如你在一元函数中把“一小段曲线”当化做"直线"一样.你可以想象如果你笔直朝着山顶走,就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的话）.这条向上的线的就是梯度向量加上z的增量所组成的向量.（注意,二元函数的梯度是二维的向量.两个维度是自变量.）
现在你已经在这个曲面上找到了等值线和梯度了,试想下,你在一个斜的平面上走,向上升最快的方向是不是唯一的呢?平着走和向上走两个方向是不是垂直的呢?所以说,梯度是等值线的法线方向.
这就是梯度几何意义,如果用向量乘来计算,那将是
→ →
Δz = grad z · L
我很奇怪为什么打出来这个点乘符号这么小.左边是z的增加量,就是上升多少,右边是一个向上走的方向,一个是你现在选择的前进的方向向量.这里选择前进方向为（Δx,Δy）,得到：
ΔZ=Z'｜x · ΔX +Z'｜y ·ΔY 你可以看到,这就是二元函数偏导的定义.
现在把你前进的速度定为1,也就是L的长度定为1,得到的值就是方向导数.这是因为你选定了方向和速度,那么左边就是你上升的速度,也就是方向导数.
希望我的话对你理解有所帮助.

二元函数在某一点的梯度方向是唯一的,还是有无数个.他是等值线上该点的法线方向如何理解? 如何证明二元函数一条等值线上一点的法向量就是梯度? 题如下：求函数u=x^2+2y^2-z在点M(1,2,9)处沿过该点等值面法线方向的方向导数磁感线上某一点的方向就是该点的磁场方向二元函数z=f(x,y)的函数值在某点M（x,y）变化最快的方向是M点处的梯度来表示的!但M点的梯度为二位向量啊高等数学梯度问题高等数学中,梯度的方向是朝外法线方向还是朝内法线方向.急求如何在二元函数等值线图上观察方向导数的符号? 一元函数中,自变量x代表直线上的点,只有两个变动方向.而在二元函数中,自变量(x,y)代表平面上的点,它有无数个变动方向磁感线上任一点的切线方向与该点的磁场方向一致,如果切线方向是朝相反的方向,那么还是一致的吗? 函数z=xy^2在点（1,1,1）处,沿该点梯度方向的方向导数为? 美女,>>>> 函数f(x,y)在(m,n)梯度的模就是沿等值线法线方向的方向导数 ?、、、、、磁感线上某一点的切线方向与放在该点的小磁针静止时南极所指方向相反