已知向量a=(2sinx,根号3cosx),b=(sinx,2sinx),函数f(x)=a·b

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/19 17:38:23

已知向量a=(2sinx,根号3cosx),b=(sinx,2sinx),函数f(x)=a·b
若不等式f(x)≥m对x属于【0,π/2】都成立,求实数m的最大值.

f(x)=向量a.向量b
=2sin^2x+√3*2sinxcosx.
=1-cos2x+√3sin2x.
=2(√3/2*sin2x-1/2*cos2x)+1.
=2[sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)]+1.
=2sin(2x-π/6)+1.
欲使 f(x)≥m,在x∈[0,π/2}恒成立,即2sin(2x-π/6)+1≥m,则“≥"左边的函数值应取最大值.
∵sinx在[0,π/2]内是增函数,∴当x=π/2时,左边函数值最大.
将x=π/2 代入f(x)=2sin(2x-π/6) 中,得：
2sin(2*π/2-π/6)+1≥m.
2sin(π-π/6)+1 ≥m.
2sin(π/6)+1≥m.
2*(1/2)+1≥m.
m≤2.
∴m(max)=2.（即m的最大值是2.
【注意：不能用sin(2x-π/6)=1取最大值,因为此时2x-π/6=π/2,x=2π/3.超出x∈[0,π/2]的范围】
πππππ

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