高中数学通项公式推导k为正整数f(k)=2^k(k m)通项公式或算较大（大于10^6)的f(k)的简便方法

高中数学通项公式推导
k为正整数
f(k)=2^k(k m)
通项公式或算较大（大于10^6)的f(k)的简便方法

八种求数列通项公式的方法
一、公式法
例1 已知数列 满足 ,,求数列 的通项公式.
两边除以 ,得 ,则 ,故数列 是以 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 ,所以数列 的通项公式为 .
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,说明数列 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 ,进而求出数列 的通项公式.
二、累加法
例2 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
由 得 则
所以数列 的通项公式为 .
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式.
例3 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
由 得 则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式.
例4 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
两边除以 ,得 ,
则 ,故
因此 ,
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式,最后再求数列 的通项公式.
三、累乘法
例5 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
因为 ,所以 ,则 ,故
所以数列 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式.
例6已知数列 满足 ,求 的通项公式.
因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由 ,,则 ,又知 ,则 ,代入③得 .
所以,的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,从而可得当 的表达式,最后再求出数列 的通项公式.
四、待定系数法
例7 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
设 ④
将 代入④式,得 ,等式两边消去 ,得 ,两边除以 ,得 代入④式得 ⑤
由 及⑤式得 ,则 ,则数列 是以 为首项,以2为公比的等比数列,则 ,故 .
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.
例8 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
设 ⑥
将 代入⑥式,得
整理得 .
令 ,则 ,代入⑥式得
⑦
由 及⑦式,
得 ,则 ,
故数列 是以 为首项,以3为公比的等比数列,因此 ,则 .
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求数列 的通项公式.
例9 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
设 ⑧
将 代入⑧式,得
,则
等式两边消去 ,得 ,
解方程组 ,则 ,代入⑧式,得
⑨
由 及⑨式,得
则 ,故数列 为以 为首项,以2为公比的等比数列,因此 ,则 .
评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.
五、对数变换法
例10 已知数列 满足 ,,求数列 的通项公式.
因为 ,所以 .在 式两边取常用对数得 ⑩
设 11
将⑩式代入11式,得 ,两边消去 并整理,得 ,则
,故
代入11式,得 12
由 及12式,
得 ,
则 ,
所以数列 是以 为首项,以5为公比的等比数列,则 ,因此
则 .
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.
六、迭代法
例11 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
因为 ,所以
又 ,所以数列 的通项公式为 .
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.即先将等式 两边取常用对数得 ,即 ,再由累乘法可推知 ,从而 .
七、数学归纳法
例12 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
由 及 ,得
由此可猜测 ,往下用数学归纳法证明这个结论.
（1）当 时,,所以等式成立.
（2）假设当 时等式成立,即 ,则当 时,
由此可知,当 时等式也成立.
根据（1）,（2）可知,等式对任何 都成立.
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明.
八、换元法
例13 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
令 ,则
故 ,代入 得
即
因为 ,故
则 ,即 ,
可化为 ,
所以 是以 为首项,以 为公比的等比数列,因此 ,则 ,即 ,得
.
评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ,使得所给递推关系式转化 形式,从而可知数列 为等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.