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(本小题满分13分)已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 x 2 ＋ y 2 －10 x ＋20＝0相切.过点

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 14:14:32
(本小题满分13分)
已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 x 2 ＋ y 2 －10 x ＋20＝0相切.过点 P (－4,0)作斜率为的直线 l ，使得 l 和 G 交于 A ， B 两点，和 y 轴交于点 C ，并且点 P 在线段 AB 上，又满足| PA |·| PB |＝| PC | 2 .
(1)求双曲线 G 的渐近线的方程；
(2)求双曲线 G 的方程；
(3)椭圆 S 的中心在原点，它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分，求椭圆 S 的方程.
(1)设双曲线 G 的渐近线的方程为 y ＝ kx ，
则由渐近线与圆 x 2 ＋ y 2 －10 x ＋20＝0相切可得＝，
所以 k ＝±，即双曲线 G 的渐近线的方程为 y ＝± x .(3分)
(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为 x 2 －4 y 2 ＝ m ，
把直线 l 的方程 y ＝( x ＋4)代入双曲线方程，
整理得3 x 2 －8 x －16－4 m ＝0，
则 x A ＋ x B ＝ ， x A x B ＝－.(*)
∵| PA |·| PB |＝| PC | 2 ， P 、 A 、 B 、 C 共线且 P 在线段 AB 上，
∴( x P － x A )( x B － x P )＝( x P － x C ) 2 ，即( x B ＋4)(－4－ x A )＝16，
整理得4( x A ＋ x B )＋ x A x B ＋32＝0.
将(*)代入上式得 m ＝28，
∴双曲线的方程为－＝1.(8分)
(3)由题可设椭圆 S 的方程为＋＝1( a >2)，
设垂直于 l 的平行弦的两端点分别为 M ( x 1 ， y 1 )， N ( x 2 ， y 2 )， MN 的中点为 P ( x 0 ， y 0 )，
则＋＝1，＋＝1，
两式作差得＋＝0.
由于＝－4， x 1 ＋ x 2 ＝2 x 0 ， y 1 ＋ y 2 ＝2 y 0 ，
所以－＝0，
所以，垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆 S 内的部分.
又由已知，这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分，所以＝，即 a 2 ＝56，
故椭圆 S 的方程为＋＝1.(13分)

略
(本小题满分13分)已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 x 2 ＋ y 2 －10 x ＋20＝0相切.过点 已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x^2＋y^2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为1/4的直线l, 问一道高中双曲线的题已知双曲线G中心在原点,它的渐近线与圆x^2+y^2-10x+20=0相切,过点（-4,0）作斜率为 双曲线与圆已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x^2+y^2-10x+20=0相切.过点p（-4 题目已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切． 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为74的直线 双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2,它的两条渐近线与以A(0,1)为园心,根号2/2为半径的圆相切,直线l过点 已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是y＝±12x 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，2)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦 已知双曲线c以过原点且与圆x^2+y^2-4x+3=0相切的两条直线为渐近线,双曲线C还过椭圆y^2/4+x^2=1的两 双曲线的中心在原点,一条渐近线与直线 根号3 x-y+2=0平行,若点（2,3）在双曲线上,求双曲线方程 双曲线的中心在原点，一条渐近线与直线 根号3 x-y+2=0平行，若点（2，3）在双曲线上，求双曲线方程