作业帮指数和真数都不同的两个对数函数怎么比大小
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 04:03:45
指数和真数都不同的两个对数函数怎么比大小
例 ①2为底1/5的对数 与 0.5为底3/2的对数
②1/4为底8/7的对数 与 1/5为底6/5的对数
例 ①2为底1/5的对数 与 0.5为底3/2的对数
②1/4为底8/7的对数 与 1/5为底6/5的对数
观察两个对比项的关系,底数不同当然要换成相同的底数,可用换底公式,或根据对数的性质变换底数.对比大小时,利用对数单调性,可采用作差法、作商法、不等式放缩法、作图比较等方法.
①作差法.（利用：对数性质——log(a^n)b^m=m/n*[log(a)b] ；log(a)M+log(a)N=log(a)[M·N]）
log(0.5)[3/2]=log(1/2)[3/2]=log(2^-1)[3/2]=-log(2)[3/2]
log(2)[1/5]-log(0.5)[3/2]=log(2)[1/5]+log(2)[3/2]=log(2)[1/5*3/2]=log(2)[3/10]＜log(2)1=0
故 log(2)[1/5]＜log(0.5)[3/2]
②不等式放缩法.（利用：对数单调性）
log(1/4)[8/7]=log(4^-1)[8/7]=-log(4)[8/7]=log(4)[(8/7)^-1]=log(4)[7/8]
log(1/5)[6/5]=log(5)[5/6]
[观察上述两个对数中的真数7/8和5/6的关系,为便于比较其大小,化为同分母（24）的分式]
log(1/4)[8/7]=log(4)[21/24]
log(1/5)[6/5]=log(5)[20/24]＜log(5)[21/24]＜log(4)[21/24]=log(1/4)[8/7]
[此即为不等式放缩法,利用对数函数y=log(a)X为增函数（a＞1,X＞0）时的性质,即可放缩传递比较大小]
从而 log(1/4)[8/7]＞log(1/5)[6/5]
再问： 例②有更简便的方法吗？用中间量log(1/4)[6/5]或log(1/5)[8/7]可以比较吗
再答： 上面利用的是增函数的性质，现在用减函数的性质，简便一点写，如下： log(1/4)[6/5]=log(5/20)[42/35] log(1/5)[8/7]=log(4/20)[40/35] log(5/20)[42/35]＜log(5/20)[40/35]＜log(4/20)[40/35]=log(1/5)[8/7] 从而 log(1/5)[8/7]＞log(1/4)[6/5] 另外，正如LZ所言，采用中间量作为过渡也ok，只不过都要用到不等式的缩放法，如下： log(1/4)[6/5]=log(5/20)[42/35]=log(10/40)[42/35] log(1/5)[8/7]=log(4/20)[40/35]=log(8/40)[40/35] log(10/40)[42/35]＜log(10/40)[40/35]＜log(9/40)[40/35]＜log(8/40)[40/35] log(10/40)[42/35]＜log(8/40)[40/35] 从而 log(1/5)[8/7]＞log(1/4)[6/5] 注： （1）化成同分母分式，分母不定，可随意，只有能拉开差距就行，比如10/40和8/40中间可用9/40做过渡，化成15/60和12/60亦可，中间可选择的过渡范围更大，有14/60、13/60 （2）log(10/40)[40/35]和log(9/40)[40/35]即为其中的过渡项，以log(9/40)[40/35]为中点，向左右方向同时缩小放大，直到传递至所需比较项为止；当然也可引入log(10/40)[41/35]或log(9/40)[41/35]之类的，若能顺利传递到比较项即可，不必选太多中间量 （3）若是选择题，可选择几个特殊点，画出函数图像，再做比较，大小关系就很明显啦
①作差法.（利用：对数性质——log(a^n)b^m=m/n*[log(a)b] ；log(a)M+log(a)N=log(a)[M·N]）
log(0.5)[3/2]=log(1/2)[3/2]=log(2^-1)[3/2]=-log(2)[3/2]
log(2)[1/5]-log(0.5)[3/2]=log(2)[1/5]+log(2)[3/2]=log(2)[1/5*3/2]=log(2)[3/10]＜log(2)1=0
故 log(2)[1/5]＜log(0.5)[3/2]
②不等式放缩法.（利用：对数单调性）
log(1/4)[8/7]=log(4^-1)[8/7]=-log(4)[8/7]=log(4)[(8/7)^-1]=log(4)[7/8]
log(1/5)[6/5]=log(5)[5/6]
[观察上述两个对数中的真数7/8和5/6的关系,为便于比较其大小,化为同分母（24）的分式]
log(1/4)[8/7]=log(4)[21/24]
log(1/5)[6/5]=log(5)[20/24]＜log(5)[21/24]＜log(4)[21/24]=log(1/4)[8/7]
[此即为不等式放缩法,利用对数函数y=log(a)X为增函数（a＞1,X＞0）时的性质,即可放缩传递比较大小]
从而 log(1/4)[8/7]＞log(1/5)[6/5]
再问： 例②有更简便的方法吗？用中间量log(1/4)[6/5]或log(1/5)[8/7]可以比较吗
再答： 上面利用的是增函数的性质，现在用减函数的性质，简便一点写，如下： log(1/4)[6/5]=log(5/20)[42/35] log(1/5)[8/7]=log(4/20)[40/35] log(5/20)[42/35]＜log(5/20)[40/35]＜log(4/20)[40/35]=log(1/5)[8/7] 从而 log(1/5)[8/7]＞log(1/4)[6/5] 另外，正如LZ所言，采用中间量作为过渡也ok，只不过都要用到不等式的缩放法，如下： log(1/4)[6/5]=log(5/20)[42/35]=log(10/40)[42/35] log(1/5)[8/7]=log(4/20)[40/35]=log(8/40)[40/35] log(10/40)[42/35]＜log(10/40)[40/35]＜log(9/40)[40/35]＜log(8/40)[40/35] log(10/40)[42/35]＜log(8/40)[40/35] 从而 log(1/5)[8/7]＞log(1/4)[6/5] 注： （1）化成同分母分式，分母不定，可随意，只有能拉开差距就行，比如10/40和8/40中间可用9/40做过渡，化成15/60和12/60亦可，中间可选择的过渡范围更大，有14/60、13/60 （2）log(10/40)[40/35]和log(9/40)[40/35]即为其中的过渡项，以log(9/40)[40/35]为中点，向左右方向同时缩小放大，直到传递至所需比较项为止；当然也可引入log(10/40)[41/35]或log(9/40)[41/35]之类的，若能顺利传递到比较项即可，不必选太多中间量 （3）若是选择题，可选择几个特殊点，画出函数图像，再做比较，大小关系就很明显啦