作业帮运用泰勒公式证明不等式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 19:30:46
运用泰勒公式证明不等式
设f(x)在[a,b]上一阶可导,在（a,b）上二阶可导,且满足f'(a)=f'(b)=0,证明存在x属于（a,b）使得|f''(x)|>=4 |f(b)-f(a)| /(b-a)^2
设f(x)在[a,b]上一阶可导,在（a,b）上二阶可导,且满足f'(a)=f'(b)=0,证明存在x属于（a,b）使得|f''(x)|>=4 |f(b)-f(a)| /(b-a)^2
此处给出一个当[a,b]为[0,1]时的证明过程,很容易将其修改为[a,b]区间的证明,[a,b]的证明在此处输入很不方便.
证明：将f(x)在 1/2 处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0,x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0,1）时,x02+ (1-x0)2
证明：将f(x)在 1/2 处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0,x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0,1）时,x02+ (1-x0)2